数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.24

MagicianKuma

連投で申し訳ありません。

質問にもどって、
>「ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。」
「代入できないことこそ成り立たないことではないか！」と私なら反論してしまいます。
あえて大胆にいうなら、反例としては真っ先に述べて良い気もします。わたしなら高校生にボーナス点をあげても良いと思います。

回答No.23

MagicianKuma

No13です。お礼中で質問されてますので、お答えします。

>「自分の解釈としての意見の投票」と「(自分の解釈は別にして)他の多くの人が投票するであろう意見の予想」
>という意味があると思います。どちらなのでしょうか？
「自分の解釈としての意見の投票」です。

質問者の命題は、y<0なる文句のつけようのない反例があるので、問題を紛糾させているのではないでしょうか？
で、別例を提示してみたわけです。
0≦x≦1 ならば 1/x≧1 の真偽をどう考えますか？
この命題を真ととらえる人（1/xなる式がでてくるのでx≠0なる前提が暗黙されていると考える人達）にとっては、反例は必要ありません。
この命題を偽ととらえる人（私もそうです）にとっては、x=0のとき1/x≧1は成立しないが反例として唯一のものではないでしょうか？
命題になっていないという意見の人もいるかもしれません。

お礼

ありがとうございます。

＞0≦x≦1 ならば 1/x≧1 の真偽をどう考えますか？

僕自身はごく自然に、その命題を偽ととらえました。反例：x=0
他の数学の優秀な先生方も同じようにとらえると思っていて、僕と反対意見を述べる人は、優秀でない、論理力がないとさえ思っていました。
しかし、ここでの掲示板にあるように、解釈が少し別れるようなのです。そして、ここでも議論になるのです。
その意味で、僕の固執した考えによる想像不足を恥じてはいます。

MagicianKumaさんは、「・・・という人もいるかもしれません」と他の解釈の可能性を認めています。
僕の場合、現場のテスト採点で分母0の反例を正解とするが不正解とするか、で議論になって、その場の全員が同じ基準をもたなくてはいけない状況で、実際は、減点するという結論になりました。(具体的には、まっとうな議論でなく、上の人の意見発言に下の人が従うだけ。)
自分の信念とまぎゃくのことが現場で起こりました。
そういった経緯から、自分と逆意見を述べる人をこの掲示板で説得したいという魂胆もありました。

今もまだ、他の解釈の可能性を普通に認めるのか、自分の思う解釈を相手に伝え続けていこうとするのか、迷っています。

回答No.22

B-juggler

眠れないのでちょっとだけ。

Ａｌｉｃｅ先生と、stomachman先生が、

書かれているのが全てなんですよ～。

パーフェクトに白旗という意味でもないんですよ。

ｙ＝０　がだめ　というのはまだ余地はあるんですよ。一応ね。

この状況下では、ほとんどないと言っていいかな。という具合。

というのも、Ａｌｉｃｅ先生の書かれてあるところと、

その解釈でσ(・・*)のところを見ると、σ(・・*)はあくまで命題としてみたんですよ。

ところが、そもそも命題として成立しないという見方もできるんですね。

　＃これを　stomachman　先生も言われていますね。

ちょっと詳しく行くと、

＞　x＞yならばx/y＞1

ここに、ｙ＝０　と入れれば、　Ａ⇒Ｂ　とかなにも関係なく、

０で割り算する　という考えが出てきてしまい、仮定、結論関係なく、これは偽なんです。

　＃どうあっても　Ｂに該当する、右半分が成立しないので。

ただし、範囲の取り方で、ｙ≠０　という範囲であれば、

もちろん０は入らないわけで（命題としてね）、この場合は反証にはならないんですよ。

この題意であれば、ｙ≠０とはいえないので（書いてないから）、

反証としては成立するんだろうなぁ～。というのが今のところ。

あの対偶のところは、完全に間違えてますねσ(・・*)は。

￢（ｘ／ｙ＞１）　⇔　（ｘ／ｙ）が実数でない　∨　｛ｘ／ｙ≦１　∧　ｙ≠０｝

こうなるのかな？　＃不等号はこれであっていたっけ？

ｙ＝０　なら　右側も実数ではなくなるので。

　＃入れておかないといけないとおもうけど、自信はない＾＾；

ここは完全に白旗です。　

早い段階で、命題として成立しないことに気がつかなきゃいけないね。

反省反省。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。しかし、すみませんが、理解できません。

＞x＞yならばx/y＞1
＞ここに、ｙ＝０　と入れれば、　Ａ⇒Ｂ　とかなにも関係なく、
＞０で割り算する　という考えが出てきてしまい、仮定、結論関係なく、これは偽なんです。
＞＃どうあっても　Ｂに該当する、右半分が成立しないので。

B-jugglerさんのいうことに従うなら、
x≠xならばx/x≠1
という命題にx=0を入れれば0で割り算することが出てきて、仮定、結論関係なく、これは偽ということですが、この命題は真ですよ。

回答No.21

stomachman

ANo.11へのコメントについてです。

> 二つの文が矛盾しているようにも読めるし

　第一の「結論」は理由まで含めたもの、第二の「結論」はそれを含めないで○×だけを指すもの。
これは非形式的な表現に伴う、曖昧さ、文脈依存性、アチラの用語では「関連性」、の一例ですが、ご質問の問いも、論理式を使わなかったために、一見命題風に書けているけれども穴（意図しない答案の余地）があった、という例でございましょう。てな強弁が書けちゃうことも、これまた非形式的な記述のヤバさですね。(笑)

> 数学の記述には、誰もがほぼ共通の解釈ができると思っている

　数学の(正書法でない)習慣的な書き方は、付随している自然言語による記述で文脈を定めようということであり、（それは定形の問題だけを扱っているうちは便利だとしても）結局は随分と不親切なものだと常々思います。たとえば
　　f(x)=0
と書かれていても、
　　∀x(x∈X → f(x)=0)
と読むなら恒等式、
　　 ∀x((x∈X ∧ f(x)=0) ⇔ x∈S)
と読むと方程式。さて二次方程式の解Sを
　　x=p, q
なんて教えるから、可哀想に、これが集合だということに気が付かない人がどっさり出る。そのあたりが漠然としたまま
　　x f' - f = 0
と書かれたら、今度は
　　∀f((f∈F ∧∀x (x∈X → x f' - f = 0)}) ⇔ f∈S)
と読めというんですから、分からない人にとっては混乱に拍車が掛かります。しばしば「(x+1)(x-1)が解けません」なんて質問が上がる。「解く」を無反省に使っている訳ですが、それは問題文に書いてある式以外の文章を飾りとしか認識していない人が沢山いるということなのではないか。もしかすると、文脈依存性こそが数学嫌いの原因の一つかも？

　大学の数学も、初年度には高校・中学の復習からやらざるを得ない所が多いと聞きますが、どうせなら単なる復習じゃなくて、記号論理の扱い方を系統的に教える際の演習の題材としてそれらの復習をやれないのかな、と思っています。（脱線しすぎ）

お礼

ありがとうございます。

確かにおっしゃるとおりですね。
論理式できっちりと書かれるのは、たくさんの回答者様の中でもstomachmanさんくらいですから説得力を感じます。

回答No.20

B-juggler

Ｎｏ．１６　（５回目）です。

Ａｌｉｃｅ先生来ていただいて、ありがとうです。

なるほど、さすが先生　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

ｘ／ｙ＞１　が成立しないんだから、なんであろうと命題は　偽　なのか。

　＃この辺　論理学の弱さが露呈してます　すいませんｍ（＿　＿）ｍ

反証としては成立するわけだ。　なるほど、命題すら関係なくなるんだ。

参りました　＾＾；

としか言いようがないね。

まぁいいわけですが、対偶で書かなかった　（ｘ／ｙが実数ではない　∨　ｘ／ｙ≦１）

のは、「虚数はないだろう」という勝手読みです。

そういわれてみれば、ｙ＝０もありえないんだ。

補足でいただいたのが正しいんだね。

勉強になります。というわけで、完璧にσ(・・*)は白旗です。

あとは、範囲の問題でしかないとおもう。Ａｌｉｃｅ先生とおなじく。

　＃これはずっと書いてはいるけど。

仮定とか、結論とか　そういう問題ではないんだろうね。

参りました。　いつもながら全くかないません　ｍ（＿　＿）ｍ

それでもまだどっちとも取れる可能性は残るんだ・・・。

ｙ≠０　としておけば・・・。面白いね。

お騒がせしました。これほど端的にこられるとなす術はありません。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。

Ａｌｉｃｅ先生のご回答によって、今まで頂いたB-jugglerさんのご回答は白旗ということですね。

僕もいろいろな方からの意見に、つられています。

回答No.19

alice_44

y＜0 の反例を挙げてほしいという出題意図は、
気持ちとしては解るのだけれど、残念ながら
そういう問題にはなっていない訳です。
事実として、1/0＞1 は成り立たないのだから、
(x,y)=(1,0) は反例だと認めざるを得ません。
意図どおりの問題ではないという意味で出題ミス
なのかもしれないが、問題として意味が成立して
いるので、出題不備という言葉は当たらない
と思います。

対偶を考えたときに変なことが起こるのは、
x/y＞1 の否定を x/y≦1 だと間違えてしまうから。
これまでの回答を見れば判るように、
x/y＞1 の否定は (x/y≦1 または
実数 x/y が存在しない) なんです。
(実数 x/y が存在しない) には、y=0 の他に、x や y が虚数の場合なども
含まれるかもしれません。
そのへんは、質問に明記されていない
x,y の変域次第ですが。

お礼

ありがとうございます。

x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ

反例：x=1、y=0
このとき、仮定において、1＞0は成り立つが、
結論において、1/0＞1 は成り立たないから。

上の書き方をしたとして、最後のところがひっかかる人が多いみたいです。
そもそも1/0と書くことは許されないと。

x=1、y=0がx/y＞1を満たさないことの示し方が、普通の高校数学にはないので、いい書き方がない、とある人は言っていました。

回答No.18

ramayana

おもしろそうな議論なので、参加させてください。

これは、数学というより倫理学の問題だと思います。

事実として確認できるのは、これまでの回答者さんたちの議論からわかるように、○という考え方も×という考え方もあるということです。どちらかの考え方を排除できるような設問になってなかったのは、出題者の責任です。その不利益を学生に負わせるのはフェアでありません。したがって、これは、正解とすべきです。

私だったら、出題者の裏をかくこういう柔軟な発想の回答をする学生には、正解どころか、ボーナス点を上げたいと思います。

お礼

ありがとうございます。

質問する前の僕は、x=1,y=0を反例とするのは正解という意見を持っていて、別の意見を述べる人を説得しようという魂胆もあったのですが、
いろいろな回答を頂いた後の僕は、一方の意見しか述べない人をやりこめようとする感覚になってきました。

質問する前の僕は、ramayanaさんとは反対の意見だったのですが、いろんな回答を頂いた後の僕はramayanaさんとは同じような意見になってきてしまいました。

回答No.17

nag0720

もっと単純に考えてもいいんじゃないですか。

「x＞y≧0ならばx/y＞1　は真か偽か」

という問題なら、明らかに偽で反例はy=0のときとして、何の問題もありませんよね。

これを認めるなら、質問の問題に対してもy=0を反例として認めないと矛盾しませんか。

お礼

ありがとうございます。
おっしゃることは一応分かります。
以下でひねくれたお返事することをお許しください。

＞「x＞y≧0ならばx/y＞1　は真か偽か」
＞という問題なら、明らかに偽で反例はy=0のときとして、何の問題もありませんよね。

ある人によると、不等号と分数を書いた時点で、

x,yは実数、y≠0において、「x＞y≧0ならばx/y＞1」　は真か偽か

と解釈する可能性もあるそうです。この解釈のときは、

x,yは実数、y≠0において、「x＞y＞0ならばx/y＞1」　は真か偽か

ということになって、真となると。

nag0720さんが、「明らかに」を書いた時点で、それは他の解釈を考えていない、ということにもなりえます。

いや、実は本来の僕はnag0720さんと同意見なのですが、これだけいろんな意見(それも優秀な方から)を頂くと、すべての意見が信じられなくなって、僕はひねくれてしまいました。

回答No.16

B-juggler

Ｎｏ．２，３，５　です　（４回目）

なんか込み入ってきましたね。　ただ、方向は見えているとおもうんです。

「数学として０で割っていいのかどうか？　→　ダメなんだけど。。」

を、どこまで導入するかなんじゃないかな？

Ｎｏ．４さん　が書かれているように、

ｐの導入について、どこまで認めるのかって話になるとおもいます。

高校の数学の問題だっていうのをしっかりつかんでおかないと、いけない！

これは当然そうだけど、やってることは数学だから、そんなに大きく変わることでもないだろうけど。

軽く問題の不備はあると思う。でもこれは置いておきましょう。

　＃前にももちろん書いているけど。　全員を丸にするとおもう。
　＃問題の不備として。　好くあるじゃない？センターなんかで。

補足いただいているのがほとんど全てだとおもうんですね。

　＃この解釈がどう分かれるかなんでしょうかね。

～～
￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

と書かれましたが、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

ちょっと省略
～～～

最後はここだとおもうんです。

σ(・・*)は違うとおもうんですよ。一見すると正しそうだけど。

同値ですから、（左辺）という言葉があうのか分からないけど、

等しいわけですね。

なので、　これがいえなきゃいけない。

（ｘ／ｙ　≧　１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）　（ａ）

これがいえるかどうか？　だとおもうんです。

　＃でしょう？　同じものの同値　なんだから。Ａ⇔Ｂ　Ａ⇔Ｃ　なら　Ｂ⇔Ｃ　だよね。

σ(・・*)は、ここの同値は成立してないとおもいます。

（ａ）　式で見れば、ｙ＝０　は　０で割ることの禁止で、認められない気がします。

ここが微妙なんですよね、｛ｙ＝０｝　または　｛（ｘ／ｙ≧１）　ｙ≠０｝こうやっているのか、

いないのかも、有りそうだし。

ただ、純粋にσ(・・*)は、ｙ＝０　とやれば、左がまずいと見る。　

ここまで高校の数学でやるのかって話しなのか、説得力はないけどね＾＾；

こういうときは本題に帰る＾＾；

ｘ＞ｙ　⇒　ｘ／ｙ＞１　の真偽だよね。

これは偽だと。これは分かっていると。対偶を取ってやりましたね。

このときに　ｙ＝０　が代入できるか？

σ(・・*)は、やはりダメだとおもう。

⇒　の右側。　ｘ／ｙ＞１　のところ。　

ここ、０で割ることになる。　そこを見て、「０で割ることの禁止」でだめとするかな。

これはもう、高校だの、大学だのは関係ないとおもうけど。

ゴメン、長くなっているけれど。

＞x≠yならばx/y≠1　　これやって置きます。

対偶取ります。

￢（ｘ／ｙ≠１）　⇒　￢ｘ≠ｙ　と、題意命題は同値。

￢（ｘ／ｙ≠１）　⇔　（ｘ／ｙ＝１）　ただし、ｙ≠０「０で割ることの禁止」

　　　　　　　　⇔　（ｘ＝ｙ≠０）　⇔　｛￢（ｘ≠ｙ）　∧　ｘ＝ｙ≠０｝

対偶が等しくないので、偽　つまり、ｙ＝０　のとき　∀ｘに対して、

命題は成立しない。　（反証は、ｙ＝０　のとき）

ｘ＝０は、　０／０　で　これもダメですね。　ここは任意で構わないとおもう。

Ａｌｉｃｅ先生は見てないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ちょっと僕の頭では読み取りにくいところもありましたが、４回もご回答をありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
におきましては、別の日に改めて質問投稿させていただきたいと考えております。

回答No.15

tmpname

> 問題が悪いというご意見とは異なる意見を持っています
私が言っているのは、「y=0と反例として認めないならそう（分かるように）
明示的に書いておくべきで、そういう意図であるなら問題が悪い」という意味です。

あなたが書いた領域の問題も「普通の」問題で（いい置き換えだと思います）、
あなたの思っていることが自然のはず。

お礼

ありがとうございます。

よく分かりました。

今回の質問の投稿前は、「x=1,y=0」の反例でも正解、という意見を多くいただけるものと想定していましたが、予想に反して、「x=1,y=0」の反例なら不正解、という意見も半々にいただきます。

少し前、この掲示板で、
6÷2（1+2）＝？
という議論がありましたが、それと同類になってるかんじがしまして、想定外に思っております。