数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.3

B-juggler

ほー、なるほど。試験問題。Ｎｏ．２です。

σ(・・*)だったら、反例を挙げて確かめることよりも、対偶を取らせるかな？

命題　￢（ｘ／ｙ＜１）　ならば　￢（ｘ＜ｙ）　について　

この命題が偽であることを考える。

命題について　￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

おなじく、　￢　（ｘ＜ｙ）　⇔　（ｘ≧ｙ）　

したがって　命題は　以下のように改めることができる。

（ｘ／ｙ≧１）　ならば　（ｘ≧ｙ）

さらに、（ｘ／ｙ≧１）　⇔「同値ね」　（ｘ≧ｙ）　｛ｙ＞０　のとき｝

また、　（ｘ／ｙ≧１）　⇔　（ｘ≦ｙ）　｛ｙ＜０　のとき｝

よって、この命題は　ｙ＜０　のとき　真ではない（偽である）　ので、

対偶の定義により、問題にある命題は偽。

こう持っていくんじゃないかな？

やはり、　ｙ＝０　は、０で割っているとともに、

不等式で、０を掛けてしまうから、まずいとおもう。

対偶取らなくても、分かるかもしれないけど、とった方がよりわかりやすいかな？

これはでも好みかもしれない？

安易に数を放り込んでいくよりは、この方がいいのかな～～？

実数なのか、虚数なのか、整数なのか、自然数なのか？全く書いていないから、

簡単に数放り込ませるのはどうかとおもう。

σ(・・*)が出しているんなら、ｘ、ｙ∈　実数　ってやっていなければ、

全員に○あげるかな。　問題にちゃんと書いていれば、対偶をとってなければ

部分点だろうし、ｙ＝０の時点で　×　だろうね。

　＃σ(・・*)がこういう問題を使うとすれば、ブール代数だけかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。
B-jugglerさんは、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

と書かれましたが、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

と僕は思います。

どちらが正しいのでしょうか？

回答No.2

B-juggler

元代数学の非常勤です。　（群論、ゲーム理論など）

どうなるんだろう？

解析の考え方を入れれば、成立しているとも取れるかもしれない？

　＃Ｌｉｍで０に近づけるって奴ね。
　＃もちろん専門外だから、間違っているかもしれないけど。

普通に考えると、ｘ，ｙ　∈実数　と見ているんだとおもうけど、

最終的に　（１／０）　これを認めるのか？

って判断になるんだろうから、高校のレベルでは、

　＃もちろん、σ(・・*)たちも　代数屋はね。

ｙ＝０　はダメだとおもう。

＞　x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ

こういう問題自体に欠陥があるように思えてしょうがない。

０で割っていいか？　というところの定義も何もないから、

数学の中で行けば、成立しない反例だとおもうけど。

そもそも、反例を立てて証明を崩すような、やり方はしないとおもうよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。

limの極限は無関係と思います。

本来は次のようなことがきっかけです。

テスト問題。
x＞yならばx/y＞1　の真偽を調べよ。
生徒は、それが偽であることを示すのに、
反例：x=1、y=-1と書いた答案は当然正解だが、
反例：x=1、y=0と書いた答案があった。
先生は正解と採点すべきか、不正解と採点すべきか悩んで、議論になった。

回答No.1

NemurinekoNya

「x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない」
の意見に賛成です。

a>bは、暗黙のうちに、a、bが実数であることを前提としています。x=1、y=0ならx/yは実数ではなく、この時、x/yは二項関係「>」の定義域にないからです。
そもそも不等号で比較できないものを反例としてあげるのはいかがなものでしょうか。

もっとも、数学ではなく純粋に論理の問題として考えとき
「x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい」
という主張は、間違いでないのかもしれませんが。

お礼

ありがとうございます。

＞数学ではなく純粋に論理の問題として考えとき

すみませんが、上のことがよくわからないです。数学の問題と論理の問題に違いはあるのでしょうか。