数学です。。

質問

次の命題の真偽を述べよ。また、偽であるとき反例をあげよ。

X²＋y²＝０　⇒　ｘ＝ｙ＝０

a≠b⇒　ac≠bc

xyが有理数　⇒　x , yはともに有理数

回答No.3

noname#157574 · ベストアンサー

【結論】三つとも偽
【反例】(1)x=1，y=i　(2)a=1，b=2，c=0　(3)x=√2，y=1/√2

お礼

非常にたすかりました！！

またよろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44

ふたつめ：
c≠0 という条件がついていたとしても、
a, b, c が行列だったり、剰余系の元だったり
すれば、反例はある。
例えば、3×3=5×3 (mod 6)。

ひとつめとふたつめの質問に共通の問題点として、
変数の変域を指定しなくては、
命題の意味は(従って真偽も)定まらない。

お礼

ありがとうございます！！

またよろしくします(>_<)

回答No.1

noname#224896

X²＋y²＝０　⇒　ｘ＝ｙ＝０
上記の条件は，ｘ，ｙともに実数のときしか成り立たない．
つまり，ｘ，ｙともに０でない実数または虚数の場合は，成り立たない．
反例：ｘとｙのどちらかが実数，どちらかが虚数となり，且つ、ｘとｙの絶対値が等しい時
例えば、ｘが実数３，ｙが虚数３i　の場合，
９＋（－９）＝０　⇒　ｘ＝３，ｙ＝3iとなり，ｘ≠０且つｙ≠０　

つまり，X²＋y²＝０　⇒　ｘ＝ｙ＝０は，偽である．

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a≠b⇒　ac≠bc
偽

反例：
a≠bの状態で，ｃ＝０の時、ac＝bc＝０となり，ac≠bcではなくなる．

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ｘｙ：有理数　

対偶を用いて証明する．
x , yはともに有理数でないならば，xyが有理数ではない．
即ち、
x , yはともに無理数であるならば，xyが無理数である．

x=√２，y=√２の場合，ｘｙ＝２となり，有理数となる．
即ち，上記命題の対偶が偽であることが証明されたので，上記対偶は偽である．

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有理数であることは，
ｘｙ＝a/b（a,bはゼロでない整数とする．）
で表せることである．

以上です．

お礼

こんな長い解説ありがとうございます！！

これからもよろしくです