【命題が偽である場合の反例の挙げ方】

質問

【命題が偽である場合の反例の挙げ方】
命題
「ｘ＞２ならばｘ＞５である」
は偽です。教科書では反例として仮定（ｘ＞２）を満たすが結論（ｘ＞５）を満たさない例を1つ示せばよい，となっています。だから反例としてｘ＝３等と挙げれば済む話ですが，ここに
「２＜ｘ≦５」…(1)
を反例として挙げるのは正解でしょうか，不正解でしょうか。(1)は反例となるｘの値を全て漏らさず表しています。また，反例として
「３＜ｘ＜４」…(2)
はどうでしょうか。解答として(1)・(2)がどう判断されるのか，知りたいです。
集合の包含関係で考えた場合，いずれも正解としてよいように思うのですが，何しろ教科書に反例として(1)や(2)は挙げられていないので，判断に困っています。

回答No.1

Rice-Etude · ベストアンサー

例で挙げたものを補足して
「２＜ｘ≦５の範囲にあるｘ」（(1)の場合）
または
「３＜ｘ＜４の範囲にあるｘ」（(2)の場合）
とすればOKです。

「満たさない例を1つ示せばよい」のであって、「反例をたくさん示す」ことを規制しているわけではないですので、何個書いても（あるいは命題を満たさない範囲を示しても）問題ないです。ただ、労力的に1個だけ示す方が楽ではありますが...

お礼

早々の解答をありがとうございます。
解答に「の範囲にあるｘ」が足りない，という評価ですね。
反例として具体的な値をいくつもあげる「ｘ＝３．２またはｘ＝３．６または…」は正解だと私も思います。
(1)や(2)の反例は言葉が足りないということで判断したいと思います。

回答No.3

funoe

次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例を挙げよ
「ｘ＞２ならばｘ＞５である」
---
という設問の回答を採点するなら、

1)偽：反例としてｘ＝３　　　・・・100点
2)偽：反例として２＜ｘ≦５の範囲にある任意の実数ｘ　　・・・100点
3)偽：反例として２＜ｘ≦５の範囲にある実数ｘ　　・・・100点
4)偽：反例として２＜ｘ≦５を満たすｘ　　　　　　・・・100点
5)偽：反例として３＜ｘ＜４の範囲にある実数ｘ　　・・・100点
6)偽：反例として２＜ｘ≦５　　・・・20点（部分点のみ）

この設問に、6)の回答なら部分点のみでしょう。

お礼

具体的な指標をいただき，ありがとうございます。
ご解答は大学入試や模擬試験などでの評価でしょうか。(1)や(2)のように不等式だけの場合，決してはずれではないが，正解からは結構距離があるということですね。

回答No.2

Kules

これはあくまでも個人的な解釈なので違っているかも知れませんが、
「x>2」と書いた場合イメージとしては
「xはある値に定まっており、その値は2よりも大きい」
もしくは
「xは2より大きいありとあらゆる値を取れる」
となります。ということで変数っぽく見えつつも何か１つの値に決まっていて、
こっちはそれを知らないだけ！
という解釈なんですね…
ということで
「２＜ｘ≦５を満たす実数ｘ」であれば正解と言っていいと思います。
同様の理由で
「３＜ｘ＜４を満たす実数ｘ」も正解だと思います。
ここでは具体的な数値が挙げられていますが、
例えば「x>a…(1)である時x>b…(2)は真か」という問題があった時
「a<cかつd<b」を示した後であれば
「c<x<dを満たす実数xは(1)を満たすが(2)を満たさない。よって偽である」
という証明はOKだったような…

あいまいな記憶ですみません。参考になれば幸いです。

お礼

不勉強な疑問にお付き合いいただき，恐縮です。
(1)や(2)に「を満たす実数ｘ」が足りない，というご判断ですね。
どうもありがとうございました。