２次曲線について教えてください<(_ _)>

質問

下の問題教えてください<(_ _)>
(1)点(１，１)と直線y=-2からの距離が等しい点の軌跡は放物線であり、その方程式は、y=ax²+bx-1/3であるa,bの値を求めよ。
(2)2点(3，0)、(-1，0)からの距離の和が12の点の軌跡は楕円であり、その方程式は(x-r)²/p+y²/q=1である。p,q,rの値を求めよ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
点(１，１)と直線y=-2からの距離が等しい点の座標を(x,y)とすると
√((x-1)^2+(y-1)^2)=y-(-2)=y+2
自乗して
(x-1)^2+(y-1)^2=(y+2)^2
(x-1)^2=(y+2)^2-(y-1)^2=3(2y+1)=6y+3
　y=(1/6)(x-1)^2 -(1/2)
∴y=(1/6)x^2-(1/3)x -(1/3)

式を比較すればa,bは分かる。

(2)
2点(3，0)、(-1，0)からの距離の和が12の点の座標を(x,y)とすると
√((x-3)^2+y^2) +√((x+1)^2+y^2) = 12
√((x-3)^2+y^2)=12-√((x+1)^2+y^2)
自乗して
((x-3)^2+y^2)=144+((x+1)^2+y^2)-24√((x+1)^2+y^2)
移項して
24√((x+1)^2+y^2)=144+((x+1)^2+y^2)-((x-3)^2+y^2)
=144+4(2x-2)
3√((x+1)^2+y^2)=x+17
自乗して
9((x+1)^2+y^2)=(x+17)^2
(3x+3)^2-(x+17)^2+9y^2=0
(2x-14)(4x+20)+9y^2=0
8(x^2-2x-35)+9y^2=0
8(x-1)^2+9y^2=8*36
(x-1)^2/36 +(y^2)/32=1

式を比較すればp,qは分かるでしょう。

回答No.3

think2nd

ちょっと2次曲線の方程式の作り方を知っていれば、簡単ですね。
2題とも、知識にゆとりがあれば以下のようにも解けます。
知的ゲームですね。
(1)(2)ともイメージが大切です、曲線を描いて下さい。あと中心が原点にあり、長軸と短軸の長さが求まれば楕円の方程式を書くことができること。平行移動を知っていればできます。
(1)点(１，１)と直線y=-2からの距離が等しい点の軌跡は放物線とヒントがありますから、放物線の頂点はグラフより、(1,(1-2)/2)=(1,-1/2)です。その2次方程式はy=a(x-1)^2-1/2とおけます。
これを展開して整理すれば
　y=ax^2-2ax+a-1/2ですが、その方程式が、y=ax²+bx-1/3ですから、
　定数項を比較してa-1/2=-1/3よりa=1/6。bは求めて下さい。
(2)
　求める楕円の中心が(1,0)ですから2点をx軸方向に-1平行移動した楕円は、2点F(-2,0),F'(2,0)を焦点とし原点が中心で、F,F'の距離の和が１２であることから長軸の頂点は(6,0)短軸の頂点は(0,√(36-4))ですから、平行移動した楕円は(x^2)/36+(y^2)/32=1です。
　この方程式を元に戻すと。((x-1)^2)/36+(y^2)/32=1です。

回答No.2

gohtraw

（１）
求める点の座標を（ｘ、ｙ）とすると、
点（１，１）との距離の二乗は　（ｘ－１）＾２＋（ｙ－１）＾２
であり、直線ｙ＝－２との距離はｙ＋２　ですから、
（ｘ－１）＾２＋（ｙ－１）＾２＝（ｙ＋２）＾２
これを整理して下さい。

（２）
（３，０）を点Ｐ、（－１，０）を点Ｑとすると、題意を満たす点は
（７，０）、（－５，０）、（０、±√２）、（３、±８√２）、（－１、±８√２）などですから、これらを
（ｘ－ｒ）＾２／ｐ＋ｙ＾２／ｑ＝１に代入してやればｐ、ｑ、ｒの連立方程式ができます