大学数学（集合）の証明

質問

Ａ差集合(B ∩C) =(A差集合B)U (A差集合C)
の証明を補助定理を使って証明してください
できれば説明もお願いします

差集合はキーボードで出なかったので
文字で書きました

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

こんな流れかなぁ。

その「補助定理」を使うなら、

【 A - (B ∩ C) ∋ a とする】

・差集合の定義から、A と a の関係がわかる。(1)
・差集合の定義から、（B ∩ C)と a の関係がわかる(2)
・(2) から、B と C の少なくともどちらかには、a が含まれてないことがわかる(3)
・(1) と (3) から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a が含まれていることがわかる。

以上、「補助定理」の一方がいえた。

【(A - B)∪(A - C) ∋ a とする】

・和集合の定義から、A - B と A - C の少なくともどちらかには、a が含まれることがわかる。(2)
・(2) から、A と a の関係がわかる。(3)
・(1) と差集合の定義から、から、B と C の少なくともどちからには、a が含まれないことがわかる(3)
・(3) から、B ∩ C には、a が含まれないことがわかる(4)
・(2) と (4) から、A - （B ∩ C）と a の関係がわかる

以上、「補助定理」の他の一方がいえた。

回答No.4

MagicianKuma

X=Yの証明に「X⊆Y　かつ　X⊇Y」を使いなさいという指定ですから、
次の(1)(2)の順で証明しなさいということだと思いますよ。
(1)X⊆Yの証明　　「全ての（任意の）ω∈Xに対し、ω∈Yである。」を示せば良い。
(2)X⊇Yの証明　　「全ての（任意の）ω∈Yに対し、ω∈Xである。」を示せば良い。

回答No.3

alice_44

左辺 = A ∩ not(B∩C)
= A ∩ (notB U notC)
= (A ∩ notB) U (A ∩ notC)
= 右辺

じゃ、いかんの？

回答No.1

Tacosan

超能力を持たない私のために「補助定理」とやらでいっていることとその証明を詳細に書いてください.

補足

T ⊆ S かつ S ⊆ T ならば,T と S は集合として一致する。
T = S である．
という定理です