コンパクトだが長さが有限でない経路に沿った積分

質問

Cを複素数全体、AをCの連結開集合、
f:A→C
φ:[0,1]→C
ここで、φは連続でφ([0,1])⊂A
さらに、任意の正数Mに対して、ある番号nと増加列0≦r(1)<r(2)<…<r(n)≦1が存在して、∑[k=1→n]|φ(r[k-1])-φ(r[k])|≧Mという条件を満たすとき、

fのf([0,1])上の積分をどのように定義するとよいでしょうか？

その場合、φが区分的に微分可能だったりrectifiableだったりするときのとある程度同じような性質をもつようにできるでしょうか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> fのf([0,1])上の積分

　もしかして、「fのφ([0,1])上の積分」？
　最後の文を見ると、どうもご質問は、どの部分にも長さがない曲線をお考えなのでは？という気がします。たとえば、φ(t)は至る所微分不可能なフラクタル曲線のようなもの、というイメージでしょうか。すると、φ(t)=t+i tan(πt/2)なんてのでもお書きの条件[φ([0.1])全体には長さがないこと]を満たしてしまうので、何か話がずれているっぽい。たとえば「φはどの部分も長さがない」というようなことをうまく表す条件に変える必要があるんじゃなかろうかと思います。
　また、もしfが正則関数であれば、積分路のトポロジーだけで話が決まる。これでは面白くなりません。逆に、fがどんなデタラメな関数でも構わないとなると、φを持ち出さなくても(φ(t)が単位円でも）積分が定義できるかどうか怪しい。こちらも何か制約条件を付けないと駄目なんじゃなかろうかと。

　そこでとりあえず、fが充分滑らかだとしてみる。すると、曲線φ上のうんと小さい部分Bだけ見れば、いくらφがちまちま動いたって、f(φ(t))は一定のまま（たとえば1）である。（だから積分路の形の話だけを考えれば良い。）しかし、その部分Bだけについてもφのちまちまの長さは発散している。リーマン積分で考えれば長さが発散なら積分も発散するしかない。だから、長さ以外の測度を持ち込まないといけない訳ですが、それはφが長さを持つ場合にも同じように通用するものでなくてはならない。
　さて、積分はある種の「平滑化」だと思ってみたらどうでしょう。フラクタル次元が違うとφを粗視化したときの振る舞いが全然違う。長さを持つ1次元のφとそうでないφが同じ土俵に乗る筈がない。ということは、Bにおける曲線φのフラクタル次元を、その積分の定義の中に組み込まざるを得ないように思われます。

お礼

> もしかして、「fのφ([0,1])上の積分」？

タイプミスでした。ごめんなさい。

言われてみると条件の調整が必要かもしれませんね。「平滑化」のところとても参考になりました。フラクタル次元を合わせるアイディア、考えて見ます。

有益な回答ありがとうございました。