中３数学の教科書を読んでいて、疑問が生じました

質問

こんにちは。中学校で理科教師をしています。
今年度から数学のＴ２（アシスタント）を担当することになり、教科書を読んでいたところ、どうしても納得できない部分があり（授業ではそこまで質問する生徒はいないと思われますが、自分的に納得できないのです…）、自分の思考の間違いを正していただきたいのです。よろしくお願いします。

本年度の東京書籍版「新しい数学３」p.6,7およびp.15に「８の字サイクリング」という導入エピソードがあります。教科書をお持ちの方はそちらを見た方がわかりやすいかと思いますが、一応、拙い図をつけておきました。

多項式の分配法則を導くためにこの例題が扱われているのですが、図中、aを直径とする円とbを直径とする円を合わせた８の字の円周の長さと(a+b)を直径とする１つの円周の長さは同じだというのです。
　８の字の円周　　大円の円周
　　πa+πb　　 ＝　π(a+b)

さらにこの小円を３つにしても４つにしても１つの大円の円周の長さと同じだというのです。
　πa+πb+πc+πd+…　＝　π(a+b+c+d+…)

たしかに、ここまではうなずけます。たぶん、中学生レベルではこれ以上の質問などは出てこないと思われるのですが、私自身、高校時代のおぼろげな記憶が頭をもたげてしまったのです。

前置きが長くてすみません。本題はここからです。
高校の数学で「極限」という考え方を学習しました。この考え方を適用したとき、頭の中がこんがらがってしまったのです。
つまり、「小円の数を∞に近づけると、小円の直径は０に限りなく近づき、結果として∞個の８の字サイクリングは限りなく「直径の往復」に近づいてくるのではないか？
ということは、このときの８の字サイクリングの長さ＜小円の円周の和＞は　２(a+b+c+d+…)　となります。
ここで、８の字サイクリングの長さは大円の円周の長さに等しいのですから、

　　π(a+b+c+d+…)　＝　２(a+b+c+d+…）

となり、結果、
　　π＝２　という奇妙な結論になってしまいます。

私の考え方、どこが間違っているのでしょうか？数学主担当の先生に聞くのも恥ずかしく、ここに投稿しました。
よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

折角の引用が、URLが長過ぎて
切られてしまったようなので、横からお節介。
http://ja.uncyclopedia.info/wiki/1%3D2
↑のページ中程、「正三角形を利用した証明方法」
というタイトルの図を参照していたのだと思う。
この図は有名で、「長さ」の定義について悩んだ
ことのある人なら、どこかで一度は見たことがある。

恥しいなんてとんでもない。大切なことだから、
数学主担当の先生に質問してみるといい。
有意義な話が聞けると思うし、この点をクリアしなければ、
理系の高校生相手に極限の話をするのは、とても危険。

要は、図形の列が単なる点集合として収束することと、
長さを持った曲線として収束することは違うよ
というだけの話なんだけれど。

お礼

alice44さん、回答ありがとうございます。
よくわかりました。私の極限の考え方に甘さがあったことを痛感するとともに、この悩みが歴史的にも多くの人々と同じであったとの示唆に安心感を感じました。
＞この点をクリアしなければ、
＞理系の高校生相手に極限の話をするのは、とても危険。
そうですね。基本的なことがわかっていなかったことに気づかされたという意味で、私にとっても非常に有意義な内容でした。
先ほど、職員室の他の先生方と（もちろん、文系と養護の先生です）正三角形の問題を見ながらうなずき合いました。納得です。
本当にありがとうございました。

回答No.6

ferien

＞「小円の数を∞に近づけると、小円の直径は０に限りなく近づき、
＞結果として∞個の８の字サイクリングは限りなく「直径の往復」に近づいてくるのではないか？
「直径の往復」ではなくて、「大円の円周」に近づきます。
上側半分の円周の集まりが直径に近づき、下半分の円周の集まりも直径に近づくという風に捉えたのだと思いますが、それぞれ、大円の円周の上半分と下半分に近づきます。
π(a+b+c+d+…)　＝　２×(1/2)π(a+b+c+d+…)　
です。

お礼

ferienさん、回答ありがとうございます。
＞上側半分の円周の集まりが直径に近づき、下半分の円周の集まりも直径に近づくという風に捉えたのだ＞と思いますが、それぞれ、大円の円周の上半分と下半分に近づきます。
と、いうか、「上側半分の円周の集まりと大円の円周の上半分は常に同じ」なんですね。
極限の考え方に甘さがあったようです。
いずれにしても、回答ありがとうございました。

回答No.4

f272

じゃあ，これを見ても
http://ja.uncyclopedia.info/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%
A2.jpg
1=2だと思うわけね。

要するに

> つまり、「小円の数を∞に近づけると、小円の直径は０に限りなく近づき、結果として∞個の８の字サイクリングは限りなく「直径の往復」に近づいてくるのではないか？

これが間違い。本当に近づくと思うなら証明してごらんなさい。

お礼

f272さん、回答ありがとうございます。
でも、残念ながらリンクがつながらず、理解できませんでした。
また、「証明してごらんなさい」などど高飛車に出られても、わからないから質問しているのであって、私は数学的な論争をするつもりは毛頭ありません。
申し訳ありませんが、このようなアプローチではわかりやすい説明にはならないです。
でも、投稿してくれたこと自体は感謝しております。ありがとうございました。

回答No.3

D-Matsu

おっと、微妙に間違えました。
2πr=4rにはなりません、が正しいですね。

お礼

D-matsuさん、回答ありがとうございます。
やっぱり極限に対する認識が甘かったようです。
こんな人間が数学を生徒に教えるんですから、笑っちゃいますよね。
でも、わからないことは一つ一つ解決していくというのが、私の考えですので、許してください。
おかげで数学に対する世界が一つ開けました。
ありがとうございました。

回答No.2

D-Matsu

個々の円は「2πr＝2rに近づきはしますが、決して同じにはなりません」。r＝0以外では。
なのでどれだけ小さくしようと2πrの合計をしなければならないのに、2rの合計に置き換えられると思ったことが間違いです。

回答No.1

noname#172262

「直径の往復」の意味が理解できませんが、要は直径aがいくら小さくても円周＝πaに変わりはありません、それを直径の往復？とかいう近似をしているところに間違いがあるようです。

お礼

kazu195809さん、最速の回答、ありがとうございました。
私の「極限」に対する認識が不足していたようです。極限と近似を一緒に考えてはいけないのですね。
本当にありがとうございました。