ｆ（ｘ）の周期がｐのときのｆ（ｍｘ）の周期の説明

質問

参考書の説明がわかりません。
ｆ（ｍ（ｘ＋ｐ/m))=f(mx+p)=f(mx)が成り立つ。また、周期は正の最少なものをとるので、ｆ（ｍｘ）の
周期はｐ/lmlとなる。（周期はｍｐではない）

ｆ（ｘ＋ｐ）＝ｆ（ｘ）（ｐは０ではない定数）この形にもってきてｐがｐ/lmlとなるようにするのかなと思ったりしますがよくわかりません。解説していただければとありがたいです。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

f(x)=f(x+p)なので、xにmxを代入してf(mx)=f(mx+p)です
これは
=f(m(x+p/m))と変形できるため、g(x)=f(mx)とおくと
g(x)=f(mx)=f(m(x+p/m))=g(x+p/m)です
正の最小なものをとるので周期はp/|m|です

お礼

教えていただいたことを参考に考えています。ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

関数 f が周期 p を持つとは、任意の x について
f(x+p) = f(x) が成り立つことをいう。
絶対値最小の p を考えるときには「基本周期」と呼ぶ。
単に「周期」といったら 2p でも -3p でも構わない。
用語は正確に。

関数 f が正の基本周期 p を持つとき、
x の関数 f(mx) の基本周期を求めよ
…という問題であれば、
p/|m| が f(mx) の周期であること(1)と
周期の中で絶対値最小であること(2)の
両方を示さなければならない。

(1)
p が f の周期のひとつであることより、
f(m(x+ p/|m| )) = f(mx ±p) = f(mx) から
p/|m| が f(mx) の周期であることは判る。

(2)
その上で、
p/|m| が f(mx) の基本周期でないと仮定すれば、
0 < ε < p/|m| の範囲に f(mx) の基本周期 ε が
あることになる。そうすると、
f(x+ mε) = f(m(x/m+ ε)) = f(m(x/m)) = f(x)
となって、mε が f の周期のひとつとなってしまい、
0 < |mε| < p であることから p が基本周期である
ことに反する。よって、背理法により…

お礼

まだ習っていないところがあり今調べて勉強しています。ありがとうございました。