f(x)が解けません

質問

以下の方程式について、f (x)を求めたいのですが、解法がわかりません。
どなたか、ご教示いただけますと幸いです。

式：f (x) + p・f '(x) = q{1-e^(-kx)}
なお、pとqは定数です。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

f (x) + p・f '(x) = q{1-e^(-kx)}　　　　 (1)

y=f(x)とする。

y'+y/p=(q/p){1-e^(-kx)}

基本解ypは

y'+y/p=0と置いた時の解で

yp=ce^(-x/p) (2)

(1)の特殊解をysとし、下記の形を仮定する。

ys=a+be^(-kx)

ys'=-bke^(-kx)

ys'+ys/p=-bke^(-kx)+[a+be^(-kx)]/p=(q/p){1-e^(-kx)}

係数を比較して

a/p=q/p　　　(3)

-bk+b/p=-q/p　　　(4)

(3)、(4)より

a=q

b=q/(pk-1)

ys=q+[q/(pk-1)]e^(-kx)=q[pk-(1-e^(-kx)]/(pk-1)

(1)の一般解は

y=yp+ys=c*e^(-x/p)+q[pk-(1-e^(-kx)]/(pk-1)

お礼

丁寧にご回答いただきまして、ありがとうございます。
数学の知識は高校数学までで、ご回答者様の回答を解読するのにも時間がかかってしまい、お返事遅くなりました。申し訳ございません。
業務上、もう少しこのあたりを勉強しなくてはならないと感じた次第です。
どうもありがとうございました。

回答No.1

transcendental

ｆ’（ｘ）＋（１/ｐ）・ｆ（ｘ）＝（ｑ/ｐ）・｛１－e＾（－ｋｘ）｝
ｐ、ｑ、ｋは定数とします。また、ｐｋ≠１も仮定します。
斉次方程式、ｆ’（ｘ）＋（１/ｐ）・ｆ（ｘ）＝０の解、ｆ（ｘ）＝A・e＾（－ｘ/ｐ）から出発します。
A＝A（ｘ）と考えて上の解を微分して代入することにより、
A（ｘ）＝ｑ・e＾（ｘ/ｐ）－｛ｑ/（１－ｐｋ）｝・e＾｛（１/ｐ－ｋ）ｘ｝＋B
を得ますからこれを戻して、
ｆ（ｘ）＝B・e＾（－ｘ/ｐ）＋ｑ＋｛ｑ/（１－ｐｋ）｝・e＾（－ｋｘ）
となります。（B：任意）

ｐｋ＝１のときは、特殊解の部分が変わります。
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※定数係数の１階線形微分方程式においてはまず、斉次方程式を解き、次に「定数変化法」によって特殊解を求めます。もしｐ、ｑなどの文字定数ではなくきまった定数のときに問題を解決できなければそちらのほうを先にしてください。

お礼

ご回答いただきまして、ありがとうございました。
先の回答者様のところでも述べさせていただきましたが、回答の解読に時間がかかり、御礼が遅くなりましたこと、ご容赦ください。
どうもありがとうございました。