式の計算から

質問

質問です。

ある自然数を10でわったときの商から余りの2倍をひいた数が7の倍数だった。このとき、この自然数が7の倍数であることを説明しなさい。

この問題が解けません。
よろしくお願いします！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞ある自然数を10でわったときの商から余りの2倍をひいた数が7の倍数だった。
＞このとき、この自然数が7の倍数であることを説明しなさい。

ある自然数を10でわったときの商をｑ，余りをｒ（０≦ｒ＜１０）とすると、
ある自然数は、１０ｑ＋ｒ　……（１）と表せる。
商から余りの2倍をひいた数が7の倍数だから、ｎを整数とすると、
ｑ－２ｒ＝７ｎより、ｑ＝７ｎ＋２ｒ
（１）に代入して、
１０ｑ＋ｒ
＝１０（７ｎ＋２ｒ）＋ｒ
＝７０ｎ＋２０ｒ＋ｒ
＝７０ｎ＋２１ｒ
＝７（１０ｎ＋３ｒ）
１０ｎ＋３ｒは整数だから、１０ｑ＋ｒは７の倍数である。
よって、ある自然数は７の倍数である。

でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

gohtraw

あ、間違えた。＃１です。
１０（ｎ－２ｍ）＋２１ｍ＝７０ｌ＋２１ｍ
　　　　　　　　　　　　＝７（１０ｌ＋３ｍ）

ですね。

回答No.2

ONEONE

問題から
n = 10m + r ・・・(A)　　（n:ある自然数, m:商, r:あまり）
m - 2r = 7k ・・・(B)　　　(k: 整数)
と表せるので(B)のmを(A)に代入すれば・・・

回答No.1

gohtraw

ある自然数の一の位の数字をｍとすると、この自然数は１０ｎ＋ｍと表わされます。これを10でわったときの商はｎであり、余りはｍなので、ある自然数を10でわったときの商から余りの2倍をひいた数はｎ－２ｍです。これが７の倍数なので、
ｎ－２ｍ＝７ｌ　（ななエル）
と表わすことが出来ます。元の自然数は
１０（ｎ－２ｍ）＋２１ｍ＝７０ｌ－２１ｍ
　　　　　　　　　　　　＝７（１０ｌ－３ｍ）
となり、やはり７の倍数になります。