中学２年生 やり直しレポートについて

質問

数学のテストでこのような問題がでていていまだに分からないので　解説と途中式　を教えてください。

ある自然数ｎを14で割ると、商と余りが同じになります。また、そのｎを20で割っても、商と余りが同じになります。このようなｎのうち、最も小さい数は105になります。このことを文字を使って説明しなさい。

という問題です。　
文字をつかって説明する方法がよく分かりません。
もしよかったらご回答してください。

回答No.3

OKWavex · ベストアンサー

ある自然数ｎを割ると商と余りが同じになるということは、自然数ｎから余りを引いておけば割り切れるということ
自然数nを14で割った商と余りをaとすると
n-a/14=a
n=14×a+a=15×a
したがって、自然数nは15の倍数
自然数nを20で割った商と余りをbとすると
n-b/20=b
n=20×b+b=21×b
したがって、自然数nは21の倍数
このようなnのうち最も小さい数は15の倍数と21の倍数のうちのもっとも小さい数、すなわち15と21の最小公倍数
15を素因数分解すると　 15=3×5
21を素因数分解すると　 21=3×7
なので15と21の最小公倍数は　3×5×7=105
したがってこのようなｎのうち、最も小さい数は105になる

お礼

ありがとうございました。

補足

この言葉はどういう意味ですか？

素因数分解

回答No.4

OKWavex

＞この言葉はどういう意味ですか？
＞素因数分解

ある正の整数を素数の掛け算の形で表すことです
最小公倍数はそれぞれの数の素因数分解の結果に含まれる各素数の最大個数を求めてそれを掛け合わせることで求めます

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

fujitapari

おじいさんなりに考えてみました。
間違ってるかもしれませんが、参考になれば。

（１）１４で割った時の商をＡとしたとき、Ｎは１４Ａ＋Ａですから、Ｎ＝Ａ（１４＋１）＝１５Ａ＝１５の倍数
（２）２０で割った時の商をＢとしたとき、Ｎは２０Ｂ＋Ｂですから、Ｎ＝Ｂ（２０＋１）＝２１Ｂ＝２１の倍数
（３）（１）と（２）の両方の条件を満たすのは、１５と２１の最小公倍数ですから、１０５になります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

hue2011

nを14で割った時の余りをr14という文字で表現します。
余りと商が同じなんですから、
n/14 - r14 = r14 です。
20で割った時の余りをr20という文字で表現します。
同じように
n/20 - r20= r20 ということになります。
これらの文字式を整理すると、
n/14=2×r14 つまり、n= 28×r14になり
同じように　n= 20×r20になります。両辺を引き算すれば
28×r14 = 20×r20です。つまり、
1.4×r14=r20です。
もっと簡単にすれば、
r20/r14 = 1.4 = 7/5 です。
つまりr14の一番小さい整数は5であり、r20の一番小さいのは7です。
r14でやってみるなら
n= 14 × r14 = 14×5 = 70 となります。
r20で検算すれば
n= 20 × r20 = 20×7 = 70 であり、これが一番小さいｎになります。

105という正解は間違っています。

お礼

ありがとうございました。