幾何

質問

高校の入試問題らしいのですが、解けません。
小さな円の直径を１とする時の正方形の一辺の長さはいくらかという問題です。
お願いします。

回答No.8

info22_ · ベストアンサー

#1,#7です。

A#7の説明図を添付します。
A#2の回答とあわせてご覧下さい。

ポイントは
直角△形AOBと直角△GOBについて３平方の定理を適用すること
にあります。

　AO^2+BO^2=AB^2
　GO^2+BO^2=GB^2

ここで
AB=R1+R2, BO=R1, AO=2R1-R2,
GO=2R1-2R2-R3, GB=R1+R3,
R3=1/2,
正方形の一辺a=4R1

解けば　a=15, R1=15/4, R2=5/2

お礼

図まで挿入して下さりありがとうございます。回答にも画像添付できるようになったんですね。
ありがとうございました。

補足

皆様へ。
ご回答ありがとうございました。ベストアンサーがひとつしか選択できないので、今回は図解のあるものにしますが、その他の回答も丁寧に説明して下さりとてもわかり易かったです。
ありがとうございました。

回答No.7

info22_

#1です。

A#1の訂正です。

>小さな円の直径を１とする時

とありますので
一番小さい円の半径R3は
　R3=1/2
でした。

この部分を訂正する必要があります。
以下のように訂正願います。

>大きい円の半径から順にR1,R2,R3、正方形の一辺の長さをaとすると
>　a=4R1 ...(1), R3=1 ...(2) ←　×
正：　a=4R1 ...(1), R3=1/2 ...(2)

半径R2の上の円の中心をA、半径R3の小円の中心をG、半径R1の左の大円の中心をB、
右の大円の中心をD、半径R2の下の円の中心をC、正方形の中心をOとすると

AB=R1+R2,AO=2R1-R2,BO=R1,GB=R1+R3,GO=2R1-2R2-R3,BG=R1+R3
>３平方の定理より
直角△OABについて
>　(2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2 ...(3)
直角△OGBについて
>　R1^2+(R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4)　←　×
正：　R1^2+(2R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4)
>(1)～(4)をa＞0,R2＞0の条件で解けば
>　a=48,R1=12,R2=8 ←　×
正：a=15,R1=15/4,R2=5/2

>と求まります。
>　∴正方形の一辺の長さa=48 ← ×

正：　∴正方形の一辺の長さa=15

以上です。

回答No.6

yyssaa

ANo.2を以下の通り訂正して、再回答します。
円を大円、中円、小円と呼び、
まず中円の半径をa、大円の半径をｒとします。
正方形の横の長さは大円の直径の2倍ですから4r。
左右の大円の中心と上方の中円の中心とで出来る
三角形は、底辺が2rで左右の辺がr+aの二等辺三角形
なので、その高さは√{(a+r)^2-r^2}=√(2ar+a^2)。
これにaを加えて2倍した値が正方形の縦の長さになる
ので、それを横の長さ4rと等しいとおくと、
4r=2*{√(2ar+a^2)+a}
2r-a=√(2ar+a^2)、両辺を二乗して
4r^2-4ar+a^2=2ar+a^2
r≠0からr=3a/2、a=2r/3・・・・・(ア)が得られます。
　次に小円の半径をx(=1/2)とします。
小円の中心と中円の中心を結ぶ線分の長さはa+x。
　　〃　　　大円　　　　　〃　　　　　　r+x。
左右の大円の中心と上方の中円の中心とで出来る二等辺
三角形の底辺と小円の中心とを結ぶ線分の長さは
√{(r+x)^2-r^2}=√(x^2+2xr)
これに(a+x)を加えたものがこの二等辺三角形の高さに
なるので、三平方の定理から
{(a+x)+√(x^2+2xr)}^2+r^2=(a+r)^2。
これに(ア)とx=1/2を代入してrを求めるとr=15/4が
得られます。
以上から正方形１辺の長さ=4r＝１５となります。

お礼

ありがとうございます。直角三角形を2つ作るまではできたのですが計算がうまく行かず、、お世話になりました。高校の試験ってこんな難しかったかなぁ・・当時はきっとできてただろうに・・(^^ゞ
ルートって中学で出てたんですね。
ありがとうございました。

回答No.5

ferien

正方形の上半分の主に右側だけ考えます。
小さい円の中心をＡ，中位の円の中心をＢ，右側の大きい円の中心をＣ，
大きい円同士の接点をＤとします。
大きい円の半径をＲ，中位の円の半径をｒとします。正方形の１辺は４Ｒです。
△ＢＣＤは、直角三角形だから、ＢＣ＝ｒ＋Ｒ，ＣＤ＝Ｒ，ＢＤ＝２Ｒ－ｒ
（ｒ＋Ｒ）^2＝（２Ｒ－ｒ）^2＋Ｒ^2より、
ｒ^2＋２Ｒｒ＋Ｒ^2＝４Ｒ^2－４Ｒｒ＋ｒ^2＋Ｒ^2
６Ｒｒ－４Ｒ^2＝０
２Ｒ（３ｒ－２Ｒ）＝０
Ｒ＞０だから、ｒ＝（２／３）Ｒより、中位の円の直径は（４／３）Ｒ
△ＡＣＤは、直角三角形だから、ＡＣ＝Ｒ＋（１／２），
ＡＤ＝２Ｒ－（４／３）Ｒ－（１／２）＝（２／３）Ｒ－（１／２）
（Ｒ＋(1/2)）^2＝（(2/3)Ｒ－(1/2)）^2＋Ｒ^2
Ｒ^2＋Ｒ＋(1/4)＝(4/9)Ｒ^2－(2/3)Ｒ＋(1/4)＋Ｒ^2
(4/9)Ｒ^2－(5/3)Ｒ＝０
４Ｒ^2－１５Ｒ＝０
Ｒ（４Ｒ－１５）＝０
Ｒ＞０だから、Ｒ＝１５／４
よって、正方形の１辺は、４Ｒ＝４×（１５／４）＝１５

でどうでしょうか？図を描いて考えてみて下さい。

お礼

サンキューです。直角三角形2つ作るまではできてたんですが・・なんか解けなかった・・＿|￣|○
ありがとうございました。久しぶりに当時の心境を思い出しました。

回答No.4

yyssaa

済みません。円を大小２種類で回答したので、ANo.2
を無視して下さい。

回答No.3

asuncion

＞#1さん
＞小さな円の直径を１とする

半径を１とする、のではないと思います。

＞#2さん
図には、3種類の円があるように見えます。

# そもそも、「小さな円」とはどれのことか？3種類のうち「いちばん」小さな円のこと？

補足

もっとも小さな円のことと思われます。

回答No.2

yyssaa

計算式を分かり易くするため、小さな円の半径をa(a=1/2)、
大きな円の半径をｒとします。
正方形の横の長さは大きな円の直径の2倍ですから4r。
両方の大きな円の中心と上の小さな円の中心とで出来る
三角形は、底辺が2rで左右の辺がr+aの二等辺三角形
なので、その高さは√{(a+r)^2-r^2}=√(2ar+a^2)。
これにaを加えて2倍した値が正方形の縦の長さになる
ので、それを横の長さ4rと等しいとおくと、
4r=2*{√(2ar+a^2)+a}
2r-a=√(2ar+a^2)、両辺を二乗して
4r^2-4ar+a^2=2ar+a^2
4r^2-6ar=0
2r^2-3ar=0
r(2r-3a)-0
r≠0からr=3a/2、a=1/2より
正方形の横の長さ=4r=4*3a/2=6a=3
検算として正方形の縦の長さ2*{√(2ar+a^2)+a}に
a=1/2、r=3/4を代入すると
2*{√(2ar+a^2)+a}=2*[√{2*(1/2)*(3/4)+1/4}+1/2]
=2*{√(1)+1/2}=2*(1+1/2)=6/2=3となり横の長さと
一致します。

回答No.1

info22_

大きい円の半径から順にR1,R2,R3、正方形の一辺の長さをaとすると
　a=4R1 ...(1), R3=1 ...(2)
３平方の定理より
　(2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2 ...(3)
　R1^2+(R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4)

(1)～(4)をa＞0,R2＞0の条件で解けば
　a=48,R1=12,R2=8
と求まります。
　∴正方形の一辺の長さa=48

お礼

（4）は、R1^2+(2R1-2R2-R3)^2+＝(R1+R3)^2　ですよね？
（3）が、(2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2　のままで、
これで解くと、

R1＝R2（R1+1）

で、、、あれ？なんかこの式おかしい。。

でもとりあえず。もう一個方程式がいるので、

(R1+R2)^2+(R1+R3)^2＝2(2R1-2R2-R3)^2を（5）として、、

あ、4R1^2+4R1^2＝√8R1　だから、

。。。もうダメだ。。＿|￣|○