どうやっても解けません。助けてください～

質問

中学受験の問題と聞いて解いてはみたのですが、どうやっても答えが出てきません。
助けてください。お願いします。
中学受験の問題なので算数で解きたいのですが、座標・ベクトル・積分・何でも構いません。

問：一辺の長さ１の正方形ＡＢＣＤに内接する円があり、弧ＡＣを結びます。（ＢＣを直径とする円の円周になるように）
正方形に内接している円がその弧によって分けられた小さいほうの領域（三日月状の）の面積を求めよ。

お願いします。

回答No.5

oog-oog · ベストアンサー

正方形に内接している円と弧ACの交点をAに近いほうをS、Cに近いほうをTとします。また、内接円の中心をOとする。三角形OSBはOS=1/2、OB=√2/2、SB=1の三角形になります。
cos∠OBS=(1+1/2-1/4)/√2=5√2/8
よって∠SBTは
cos∠SBT=cos2∠OBS=2cos^2∠OBS-1=9/16
次に、∠SOTは2∠SOD=2(π-∠SOB)
cos(π-∠SOB)=-cos∠SOB=-√2(1/4+1/2-1)=√2/4
cos∠SOT=cos2∠SOD=cos2(π-∠SOB)=2cos^2(π-∠SOB)-1=-3/4
よって求める面積Sは、扇形OSTをS1、扇形BSTをS2とすると
S=(S1-ΔOST)-(S2-ΔBST)
=S1-S2+ΔBST-ΔOST
=S1-S2+√7/16 (∵ΔBST-ΔOST=2ΔOSB)

arccosを用いると答えは出てきますが、これって複雑すぎますね。
もっと簡単な方法があるかも知れませんが、まあ取り合えずという事で。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
たしかに逆三角関数まで登場させると複雑になりますね、、、

ありがとうございます。

回答No.8

aperun8

私も興味があって自分なりに考えてみました。
＃５さんと基本的には同じですが、対角線から上の扇形＋三角形ー扇形で求めてみました。
ただし、余弦定理や弧度法を使いますので、中学受験生に理解してもらえるかどうかは疑問です。

Ａ ＝ cos^-1(√2/4)/4 ＋ √7/8 － cos^-1(5√2/8) ＝ 0.14638126

お礼

返事が送れて申し訳ございません。
みなさん、ほんとうに解説ありがとうございます。

たしかにこの問題を初等幾何だけで解くのはいささか無理があるようですね、

回答No.7

9157671

その問題の解答はありますか？
一応答えだけ出してみました（違っている可能性大です）

（5/8）-(5π/32)

はどうでしょうか？？

回答No.6

oog-oog

＃5です。
S=S1-S2+√7/8
かな。
計算間違いがあるかもしれませんが、考え方はあっていると思います。

回答No.4

rom_exe

こんばんは ^^
　・一辺の長さが1の正方形ABCD
　・半径が1/2の内接円（正方形の各辺の中点に接する）
　・半径が1で点Bを中心とする1/4円（点A及び点Cにて正方形と交わる）
　という解釈でよろしいですか？

補足

はい、合っています。
図形の説明がうまくできてなくて本当にすみません。

ぜひ、お力を貸してください。
お願いします。

回答No.3

9157671

この問題文の条件を満たす図形は存在しません。
問題文はあっていますか？

お礼

すみません！
「ＢＣを直径とする」→「ＢＣを半径とする」
の間違いです。

申し訳ございません。

回答No.2

oog-oog

ちゃんと理解できているか分かりませんがこういうことですか。
内接円の面積はπ/4で、正方形の面積は1となります。
求める面積は
1-π/4
三日月状の領域ひとつだとさらに1/4ということと違うのですか。

回答No.1

NIWAKA_0

＞（ＢＣを直径とする円の円周になるように）
半径じゃないですか？

お礼

あっ、そうです！
その通りです！

ご指摘ありがとうございます。