数学 整数問題

質問

以下の問題の解説をお願い致します。

整数ｎに対しｎ^2を5で割った余りが1であるときｎを5で割った余りを求めよ。

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.5

178-tall

ステップ・バイ・ステップなら？

n = 5m + x　　: x∈{0, 1, 2, 3, 4}
だとすると、
n^2 = 25m^2 + 10mx + x^2
　　= 5*M + x^2
　　= 5*M' + 1
なのだろうから、
x^2∈{1, 16}
x∈{1, 4}

…らしい。

回答No.4

itoi_mitsugu

そのまま計算すると
n=5k+1,5k-1（kは整数)のときn^2を5で割った余りは１ですが
5k-1=5(k-1)+4と書き直すとk－１も整数なのでこれは
5で割ると４余る数になってますよね？

回答No.3

Tacosan

#1 は「n^2を5で割ったときのあまりはt^2である」が致命的に間違っている. これは, 正しくは「n^2を5で割ったときのあまりはt^2を5で割ったときのあまりである」といわなければならない.

t は「n を 5 で割った余り」だから
0 ≦ t ≦ 4 (あるいは 0 ≦ t < 5)
-2≦ t ≦ 2
のどちらかとするのが普通だろう. 単純に「t ≧ 0」とだけ設定するのはおそらく珍しい.

補足

「n^2を5で割ったときのあまりはt^2を5で割ったときのあまりである」
のはなぜですか？

回答No.2

itoi_mitsugu

上の人の説明でtの制限をとればー１もOKなので
nを5で割った余りは1または4

補足

nを5で割った余りは1または4
という解答はどうやってもとめるのですか？

回答No.1

asuncion

nを5で割ったときの商をs、あまりをt(≧ 0)とすると、
n = 5s + t
とおくことができる。このとき、
n^2
= (5s + t)^2
= 25s^2 + 10st + t^2
= 5(5s^2 + 2st) + t^2
5(5s^2 + 2st)の部分は明らかに5の倍数であるから、
n^2を5で割ったときのあまりはt^2である。
これが1であるから、t ≧ 0の条件と併せて、
t = 1
∴nを5で割ったときのあまりは1