間違いの理由を教えてください（相加相乗平均）

質問

x > 0 のとき x + (1/x^2)　の最小値を求めよ。

（相加）≧（相乗）の関係から

x + (1/x^2)
≧2√{ x ・ (1/x^2) }
=2√(1/x)　　…*

等号成立は x = (1/x^2)　から　　x^3 = 1 ∴x = 1

x = 1 のとき最小となるので　　* から最小値は　２

微分をしてもとめると正しい解答が得られるのですが，間違いの理由を自分なりにまとめられません。どなたか教えていただければありがたいです。
宜しくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

間違っている様子は、y=x+1/xx と y=√(1/x) の
グラフを書いてみれば解る。
y=x+1/xx は、右下がりの曲線 y=2√(1/x) に
x=1 で接するが、接点の右側では
y=2√(1/x) よりも緩やかな勾配で減少し、
その辺りに、唯一の極小値がある。
具体的な極小点は、A No.2 にあるとおり。

お礼

グラフからイメージができました。ありがとうございます。

回答No.5

alice_44

そうでもない。
相乗平均の式に変数が残ったとしても、
その式の値が最小になる条件が
相加平均≧相乗平均 の等号成立条件下に
成り立つならば、相加相乗平均の関係から
相加平均の最小値は求まる。

お礼

確かにその通りでした。ありがとうございます。

回答No.4

151A48

x+(1/x^2)≥2√(1/x) は
1+(1/1^2)≥2√(1/1)
2+(1/2^2)≥2√(1/2)
3+(1/3^3)≥2√(1/3)
・・・・・・
のように各xについてそのような不等式が成り立つということしか述べていません。
例えばx=5/4としてみるとx+(1/x^2)=189/100<2 となり、最小値が２でないことは明らかです。

相加平均≥相乗平均　　が最大、最小問題に使えるのは、いずれかがｘに関係ない定数になるときです。

お礼

＞＞「相加平均≥相乗平均　　が最大、最小問題に使えるのは、いずれかがｘに関係ない定数になるときです」

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight

＞　x + (1/x^2)≧2√{ x ・ (1/x^2) }=2√(1/x)　　…*

これはこの不等式が成立する、というだけで最小値とは何の関係もない。

正しくは、x + (1/x^2)＝(x/2)＋(x/2)＋(1/x^2)≧3(3)√(1/4)。等号は　x/2＝x/2＝1/x^2　の時。
相加平均・相乗平均の扱いは、便利ではあるが、慎重にしなければならない。

お礼

３つの項に分ければ最小値が求められるのですね。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

等号が成り立つときに, なぜ最小だといえるのですか?

お礼

確かにその通りでした。ありがとうございます。