3次関数の極値を相加相乗平均で求めたい

質問

実3次関数
y=a(x-α)(x-β)(x-γ)
の極値を求めるのに、普通は微分をしますが、相加相乗平均で求められると聞きました。
どうすればいいのですか？

また、4次関数などでも求められますか?

回答No.1

noname#47894 · ベストアンサー

そんなうまい話があればいいなぁとは思いますが．．．

二次関数であれば、
y=a(x-α)(x-β)　を微分すると、
y'=a{2x-(α+β)}　となりますので、極値(要するに放物線の頂点ですね)のx座標は、

x=(α+β)/2　で相加平均となり、極値はy=-a(β-α)^2/4　です。

y=a(x-α)(x-β)(x-γ)　の場合、
y'=a{(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)}となります。
（実際に展開して、微分しても同じ式が得られます。）

ここで、(x-β)(x-γ)+(x-α)(x-γ)+(x-α)(x-β)=0を解くと、
は、3x^2-2(α+β+γ)x-(βγ+γα+αβ)=0
したがって、解と係数の関係より、
極値を与える二つのxの和は、2(α+β+γ)/3　となります。
したがって、極値を与える二つのxの平均値（つまり中点のx座標）は、
α、β、γの相加平均　ということはいえます。

４次関数でも同様に、
y=a(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)であれば、
y'=a{(x-q)(x-r)(x-s)+(x-p)(x-r)(x-s)+(x-p)(x-q)(x-s)+(x-p)(x-q)(x-r)}
こんな感じになりますので、y'=0を与えるxの和は、解と係数の関係より、3(p+q+r+s)/4　となります。よって、極値を与える三つのxの平均値は、p、q、r、sの相加平均です。

したがって、上記のような関数であれば、y=0の解の平均は、y'=0の解の平均と一致するということにはなります。
しかし、実際の極値そのものは求められませんので、注意してください。
また、4次関数の場合、y'は三次関数ですので、y'=0は3次方程式を解くことになりますが、解の公式は相当複雑ですので、極値を与えるxが簡単に求められるとは限りません。

お礼

ありがとうございます。
y=a(x-α)(x-β)^2
の場合の極値は実際に相加相乗平均で求められます。
でも、
y=a(x-α)(x-β)(x-γ)
の場合はどうなるのか疑問でした。
今でも疑問です。