三角関数の問題です

質問

ａを正の定数として、関数
f(θ)=sinaθ+√3cosaθを考える。

（１）f(θ)=0 を満たす正の角θのうち最小のものを求めよ。また、小さい方から数えて４番目と５番目のものを求めよ。

解答の
aθ+π/3=nπ
のところから意味が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

Quarks

既に回答がありましたが、こんな解答もあります。

f(θ)=0となる場合
aθ=φ として
0=sinφ+(√3)・cosφ
ですから
(√3)・cosφ=-sinφ
∴tanφ=-√3
です。この解は
φ=2π/3＋nπ　（nは任意の整数）
或いは
φ=-π/3＋nπ　（nは任意の整数）
です。

元のθを使った式にすると
aθ=2π/3+nπ=(-π/3)+nπ　　式（１）
ですから
θ=π{(-1/3)+n}/a
=π(3n-1)/(3a)　式（２）
a>0,θが正の最小値であるという条件を満たすのは、n=1のときであることがわかります。
ですから、θの最小値は(2/3)・(π/a)となります。
n=1で正の最小値だったのですから
4,5番目の値はn=4,5を、式（２）に代入したものになります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

info22_

(1)
三角関数の合成公式
　Asinθ+Bcosθ=√(A^2+B^2)sin(θ+C),cosC=A/√(A^2+B^2),sinC=B/√(A^2+B^2)
を使って

f(θ)=sin(aθ)+√3cos(aθ)=2sin(aθ+(π/3))

f(θ)=0を満たすθは　sin(aθ+(π/3))=0を満たすθである。
一方,sin(x)=0を満たすxは x=nπ(nは任意の整数)なので

aθ+(π/3)=nπ

でなければならない。
これからa>0で割ってθを求めると
　θ=(nπ-(π/3))/a={π/(3a)}(3n-1) (nは任意の整数)
θ>0の時
　θ={π/(3a)}(3n-1)　(nは正の整数、即ち自然数）…(★)

π/(3a)>0なので
正の角θの内の最小のものは（★）の式でn=1の時のθ={π/(3a)}(3-1)=2π/(3a)

また、
小さい方から数えて４番目のものは
（★）の式でn=4の時のθ={π/(3a)}(12-1)=11π/(3a)、

小さい方から数えて５番目のものは
（★）の式でn=5の時のθ={π/(3a)}(15-1)=14π/(3a)

となります。

お分りになりましたでしょうか？

お礼

分かりました(>ω<)
ありがとうございます。