数III 積分 立体

質問

xyz空間において、不等式x^2≦y,y^2≦z,z^2≦xの表す立体の体積Vを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

計算が間違っていた。
したがって求める体積は
∫[t=0から1](t^(3/4)-t^(5/2)-(1/3)(t^(3/4)-t^6))dt
=[(4/7)t^(7/4)-(2/7)t^(7/2)-(1/3)((4/7)t^(7/4)-(1/7)t^7)][t=0から1]
=(4/7)-(2/7)-(1/3)((4/7)-(1/7))
=(2/7)-(1/3)(3/7)
=1/7
だな。

お礼

ありがとうございました。
無事解決しました。

回答No.1

f272

その立体をz=tで切った切り口は，x^2≦y，y^2≦t，t^2≦xを満たすからt^8≦x^4≦y^2≦tとなって0≦t≦1である。つまりtがこの範囲にあれば切り口が存在することになる。
このとき切り口の面積はt^2≦x≦t^(1/4)，x^2≦y≦t^(1/2)の範囲の面積であるから
∫[x=t^2からt^(1/4)](t^(1/2)-x^2)dx
=[t^(1/2)x-(1/3)x^3][x=t^2からt^(1/4)]
=t^(3/4)-t^(5/2)-(1/3)(t^(3/4)-t^6)
したがって求める体積は
∫[t=0から1](t^(3/4)-t^(5/2)-(1/3)(t^(3/4)-t^6))dt
=[(3/4)t^(7/4)-(2/7)t^(7/2)-(1/3)((3/4)t^(7/4)-(1/7)t^7)][t=0から1]
=(3/4)-(2/7)-(1/3)((3/4)-(1/7))
=(13/28)-(1/3)(17/28)
=(39/84)-(17/84)
=11/42

お礼

ありがとうございました。
無事解決しました。