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体積
はじめまして。 xyz空間において、x^2+y^2≦z≦2を満たす部分の体積をもとめよ。 このx^2+y^2≦z≦2を満たす部分の形さえ想像がつきません・・・。 ご教授よろしくお願いしますm(__)m
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A#1のお礼の所の補足質問について ＞∫[x^2+y^2≦z]dxdyの部分の意味がよくわかりません。 積分記号が１つ足りませんでしたね。 ∫∫[x^2+y^2≦z] dxdy これはzを[0～2 の範囲の定数]としたときの 領域[x^2+y^2≦z]の単なる面積を表します。 被積分関数が「1」の時は領域の面積を表すということです。 x^2+y^2≦z は半径(√z)の円の内部領域ですから積分 ∫∫[x^2+y^2≦z] 1dxdy=π(√z)^2=πz は円の面積になります。
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- kkkk2222
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ーーー ＞＞x軸上の点xにおける立体の切り口の面積をＳ(x)とするとき この立体の2平面x=a,x=bの間の部分の体積Ｖは Ｖ＝∫[a,b]Ｓ(x)dx の公式を使っているのでしょうか？？ 其のとおりです。 当方は高等学校＋アルファの力しかありません。 本当は、ＸＹ平面で記述したいのですが。 本文と重なりますので、 ＳＴ平面で補足します。 本問題は、ＳＴ平面上で Ｔ＝√ＳをＳ軸の周りに３６０度回転させた、回転体の体積を求める事と同形になります。重複しますが、 体積Ｖ＝∫［０、２］（π（√Ｓ）＾２）ｄＳ 以上です。 ーーー
お礼
返信ありがとうございます。 このような公式さえすっかり忘れ 教科書から必死に探していました。 最後までありがとうございました。
- info22
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#1です。領域の説明の補足です。 x^2+y^2≦z≦2を表す立体について x^2+y^2＝z は楕円放物面を表す式です。 曲面の形状は参考URLの楕円放物面の所を見てください。 今の場合はa＝b＝1の水平面断面が円の場合です。 x^2+y^2≦zはこの曲面の上部領域を表します。 z≦2は z＝2の平面の下部領域を表します。 体積を求める領域は x^2+y^2＝zの上部領域でz=2の平面より下の領域です。
お礼
返信ありがとうございます。 画像URLまでのせてくださってわかりやすかったです。
- kkkk2222
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ＹＺ平面では y^2≦z ＺＸ平面では x^2≦z ＸＹ平面に平行な平面での 切断面が円、半径は√Ｚ、面積π（√Ｚ）＾２ 体積Ｖ＝∫［０，２］πＺｄＺ ＝（１／２）πＺ＾２［０，２］ ＝（１／２）π（４－０） ＝２π でＯＫと思います。
お礼
返信ありがとうございます。 これは、 x軸上の点xにおける立体の切り口の面積をＳ(x)とするとき この立体の2平面x=a,x=bの間の部分の体積Ｖは Ｖ＝∫[a,b]Ｓ(x)dx の公式を使っているのでしょうか？？
- info22
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これは原点を頂点、底面が半径√2の円（ｚ＝2の水平面内、円の中心(0,0,2)）である逆さの垂直断面が放物面、水平断面が円の内部を表します。 体積Vの積分は V=∫[z:0,2]∫[x^2+y^2≦z]dxdydz =∫[z:0,2]π(√z)^2 dz=[(π/2)z^2][z:0,2]=2π と求まります。
お礼
返信ありがとうございます。 体積のを求める積分のことなのですが、 V=∫[z:0,2]∫[x^2+y^2≦z]dxdydzの ∫[x^2+y^2≦z]dxdyの部分の意味がよくわかりません。 よかったら、教えてくださいm(__)m
お礼
返信ありがとうございます。 わかりやすい説明で納得できました。 本当にありがとうございました