x²+y²≦1 のとき点(√3x+y,xy)の通過

質問

x²+y²≦1 のとき、点(√3x+y,xy)の通過領域を図示せよ。
解き方を教えて欲しいです。

回答No.5

gamma1854 · ベストアンサー

x=r*cos(t), y=sin(t), (0≦r≦1, 0≦t<2pi) とすると、
x=r*cos(t - pi/6), y=(r^2/2)*sin(2t) ... (*)
となります。まず、rを固定すると、(*)は１つの曲線を描きます。
(*)からｒを消去すると、
y=(x^2/2)*sin(2t)/{cos(t-pi/6)}^2
ですから、これから「包絡線」を求めると、
y=(1/√3)*x^2 ... (**)
となります。
結局、r=1 のときの曲線と(**)とで囲まれる部分が求める範囲です。

お礼

わざわざ何度も回答いただいて申し訳ないです。とても参考になりました。本当に有り難うございました。

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回答No.4

gamma1854

gamma1854 です。まことに失礼ながら考え違えがあり、投稿を削除いたします。

回答No.3

maskoto

補足です

X＝rcosθ
y＝rsinθ
(0≦r≦1)
とおくと、リサージュ図形になりそうですね
もし、図示の仕方がわからないなら
リサージュ曲線
で検索してみると理解出来るかと思います

回答No.2

gamma1854

点 P(sqrt(3)*x + y, x*y) とします。
X = sqrt(3)*x + y, Y = x*y とおいて、x, y の変化に応じた点Pの通過領域を考えてみます。
u=X, v=sqrt(3)*Y と変換すると、u, v は次の２次方程式の２実数解。
T^2 - u*T + v = 0.
で、実数解条件は、u^2 - 4*v ≧ 0, すなわち、X^2 - 4sqrt(3)*Y ≧ 0.
---------------------
通過領域は、
x^2+y^2≦1, y≦x^2/(4sqrt(3))
の共通部分。
※グラフを添えます。
共有点は、( ±2sqrt(sqrt(39) - 6), sqrt(13) - 2sqrt(3) ).

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回答No.1

maskoto

X＝rcosθ
y＝rsinθ
(0≦r≦1)
とおいて処理すれば行けると思いますよ