ガンマ関数とベータ関数

質問

積分計算でガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準を教えてください。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

ガンマ関数やベータ関数と言わず、特殊関数と言われるものは皆、ある特定の数学的状況を処理するために生まれた、というのが最初の動機付けです。

　ガンマ関数は最も初等的には、整数で定義されていた階乗を、ある理由のもとに（ある特定の数学的状況を処理するために）、実数まで拡張したものです。最終的には複素数にまで拡張されますが、関連するガンマ関数の公式群、ワイヤシュトラウスやハンケルの積分表示，スターリングの近似式などはどれも、特定の数学的状況に動機があります。

　ところがそういう風に色々な特殊関数を詳細に調べて行くと、例えばベータ関数とガンマ関数の関連がわかり、色々な特殊関数を、ある程度統一的に理解できないか？という話になって行きます。そこから特殊関数論が始まって、#2さんの仰るような方向にも話は発展するのだと思います。

　ただ実用的には、「ガンマ関数とベータ関数が使えそうだと判断する基準」は何か？と問われれば、ガンマ関数やベータ関数の動機付けとなった数学的状況と、与えられた数学的状況が似ているかどうかを、見抜ける目を持っているか、持っていなくても状況を調査（分析）した結果そうだったと言えるかどうかだと、言わざる得ません。この態度を、言葉を切り詰めて短く言うと、#1さんの、

＞使ってみて使えたら、使える。
＞それ以上でも以下でもない。

になると思えます。

お礼

分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

grothendieck

積分をガンマ関数やベータ関数で表すことに成功すれば使えるのは確実。しかし成功しなければ本当に表せないのか、それとも捜し方が足りないのか分かりません。ありとあらゆる変換を全て試してみるわけにもいきません。したがって積分がガンマ関数かベータ関数に帰着されるかを判定する方法、できれば変換を具体的に与える処方箋が欲しいと思うのは当然でしょう。
積分が初等関数になるかどうかを判定する方法はあります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
西岡久美子「微分体の理論」

これは微分体のガロア理論になります。しかしガンマ関数やベータ関数は初等関数ではありません。現在のところ積分がガンマ関数やベータ関数で表されるかを確実に判定する方法はないと思います。ガンマ関数やベータ関数のほとんどの本は計算例の羅列で根底となる理論が欠如しているような印象はぬぐえません。そもそもベータ関数とは何かと言えばはFermat 曲線のH1(Cn) に
現れる周期積分となっているのだそうです。
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群GQ の 進表現(とHodge 構造の対) を対応させることができます。この方向を進めていけば、積分が初等関数かをガロア理論で判定できたようにガンマ関数やベータ関数になるかも判定できるかもしれません。

お礼

参考になりました。

回答No.1

alice_44

何だ、その質問は？
使ってみて使えたら、使える。
それ以上でも以下でもない。

お礼

分かりました。ありがとうございます。