円周（率）の計算方法

質問

文系人間です。
高校の数学は、計算問題は解けるけど…といったレベルでした。

円周率は、「円周÷直径」と習いました。
しかし、実生活において円周や直径を実測しようと思ったら、
定規や巻き尺を使ってせいぜい１０分の１ミリまでが限界です。
それで正確な（小数点以下何兆ケタの）円周率が算出できるとは思えません。

ということは円周も計算式で求めなければならないということです。
で、円周は、「直径×円周率」…これでは堂々巡りですね。
円周を円周率を使わずに求める方法ってあるんでしょうか。
ある値の近似値ってその値そのものですか？

小数点以下何兆ケタの円周率を算出する公式は調べれば出てくると思いますが、
その公式が意味するところは、一般人にも分かるように説明できるのでしょうか。
また、そのような公式は、円周と関係あるのでしょうか、ないのでしょうか。
円周と関係ないとしたら、どうして定義から離れたところで、円周率が算出できるのでしょうか。

円周率に対するもやもやした気持ちを言葉にすること自体が難しいのですが、
あえて質問にするとしたらこんな形です。
推察するに聞きたいことはそうじゃないだろ、というご意見でも結構です。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

数式見ただけで頭が痛くなるのは単に算数が苦手だからであって、「文系人間」だからじゃないでしょう。いや、円周率なんぞに興味をお持ちであるとなると、どうやら「文系人間」ではないということじゃありませんかね。
　と、冗談はさておき、アルキメデスは正96角形まで計算したそうです。正6角形からはじめて、正12角形,正24角形,正48角形,正96角形とやった。この数字がなぜ倍倍になっているかと言いますと：
　半径1の円に内接する正6角形を考え、中心から頂点に線をひく。すると、ひいた線同士のなす角度が360度の1/6（つまり60度）になります。また、正6角形の辺の長さは円の半径と同じであり、従って1です。
　次に、円に内接する正12角形の中心から頂点に線をひく。すると、ひいた線同士のなす角度が360度の1/12（つまり30度）になります。このとき、正12角形の辺の長さがいくらになるかが問題です。ここで、ある角度（この場合60度）での辺の長さが分かっていれば、ある公式を使って、その半分の角度（30度）に対応する辺の長さが計算できるんです。つまり、正6角形の辺の長さが1だと分かっているから、正12角形の辺の長さも計算で分かる。
　これを繰り返して行くと、次は正24角形、その次は正48角形、となるわけです。
　円に外接する正多角形の辺の長さを計算する方も「ある角度での辺の長さが分かっていれば、ある公式を使って、その半分の角度に対応する辺の長さが計算できる」という仕組みを利用することは同じです。

　さて、「円に内接する正n角形の辺の長さの合計は、nを大きくして行くに連れてどんどん長くなる」ことは明らかですし、さらに、「円に内接する正n角形の辺の長さの合計は円周の長さより長くはならない」ということも明らかです。なぜなら、円周をたどるより、内接する多角形の辺をまっすぐたどる方が短いから。従って、nをどんどん大きくしながら、半径1/2の円に内接する正n角形の辺の長さを計算して行けば、答はちょっとずつ大きくなりながら円周率に近づいて行きますが、円周率より大きい答は出ません。
　また、「円に外接する正n角形の辺の長さの合計が、nを大きくして行くに連れてどんどん短くなる」のは簡単に分かることです。しかし、「円に外接する正n角形の辺の長さの合計が、円周の長さより短くはならない」ということは、（アルキメデスの時代には当たり前だと考えられていたのですが、）実はそれほど明らかではなくて、「そもそも曲線の長さってどういうことか」という所から考え直して証明を組み立てる必要がありました。でも、結局これも正しいと分かった。なので、nをどんどん大きくしながら、半径1/2の円に外接する正n角形の辺の長さを計算して行けば、答はちょっとずつ小さくなりながら円周率に近づいて行きます。
　さらに、円に内接する正n角形の辺の長さの合計と、円に外接する正n角形の辺の長さの合計とが、nを無限に大きくして行ったときに同じ値（円周率）に至る、ということもまた、自明ではありませんで、証明を必要とします。

お礼

なるほど…。
文系ですが理屈は嫌いではなく、論説文の方が小説よりも成績よかったです。
自分で書くのも小論文系はまあまあでしたが、詩なんかは数学より苦手でした。
なので、言葉で順番に説明してくれれば分かる（ような気がする）のに、
数式を見ると思考が停止してしまうのはなぜでしょう…。

倍倍になっていく理由が分かりました。
二辺がｘcmの二等辺三角形で、角度がθのときの残りの一辺の出し方を
「習ったけど忘れた」人間からすれば、角度が60度のとき、30度のとき、
15度のとき…と考えていくというのは、イメージしやすいです。
（だからといってどう計算するのか分かるわけではありませんが）

ありがとうございます。

回答No.4

noname#171582

私も、円周率については貴方と同程度の
知識しかありません。

円周率は超越数。
π＝３．１４１７・・・・・・・・
と無限に続くこと。

したがって、永久に最後の数字に到達できないこと。
最近の研究では数字の出現には偏りが見られること。

お礼

ありがとうございます。
自分と同じような人がいてほっとします。
＞最近の研究では数字の出現には偏りが見られる…
そうなんですか～。循環しないというのは聞いたことがありますが。

回答No.3

hugen

EA = x
AB = ⊿x
EP = θ
PQ = ⊿θ
----------
AC = ⊿θ√(1+x^2) = ⊿x*1/√(1+x^2)
⊿θ = ⊿x/(1+x^2)
π/4 = ∑⊿θ = ∑⊿x/(1+x^2)
π/4 = ∫[0,1]dx/(1+x^2)
= ∫[0,1]{1-x^2+x^4-x^6+x^8/(1+x^2)}dx
=1-1/3+1/5-1/7+∫[0,1]x^8/(1+x^2) dx
∫[0,1]x^8/(1+x^2) dx＞∫[0,1]x^8/(1+1^2)dx = 1/2*1/9
∫[0,1]x^8/(1+x^2) dx＜∫[0,1]x^8/(1+0^2)dx = 1/9
3.1＜π＜3.4

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi.pdf

お礼

すみません、暗号です…。レポートの方も…（涙）

回答No.2

info22_

過去の質問を調べて見ましたか？

http://okwave.jp/qa/q4536688.html

これを見れば、円の周長（円周）は円に内接する正n角形の周長より長く、外接する正n角形の周長より短いことから、円周の長さの範囲が分かります。
正n角形の周長と内接円または外接円の周長との差（誤差）はnを大きくするほど小さくなちます。正n角形の周長はnを大きくすればするほど内接円や外接円の円周に近づきます。
計算機を使えば覚えきれない位の正確な円周率の値が瞬時に出てきます。

でも正n角形から円周を求めるのば計算効率が悪いので
現在は、収束の良い円周率のべき級数展開を利用した計算を使っているようです。

お礼

前出のご質問見せていただきました。それでもよく分からなかったのです。
アルキメデスが計算したのは結局何角形ですか、近づいていくのはイコールですか？
arcsinテイラー展開って？atnってなんでしょう？
あのたくさんの式って計算すると同じ値になるんですか？

円に内接する多角形と外接する多角形、というのはなんとなくイメージできますが、
「収束の良い円周率の…」？？？
やっぱり文系人間にはその計算の意味までは理解できないということかな…。

回答No.1

DJ-Potato

実際に巻尺を使って測るなら、まずその円が正確な円であるかどうか、という議論から始まります。
まぁ、現実問題として正確な円を描くことなんてできないので、巻尺で測る方法なんて数学的ではない、ということです。
10分の1ミリまでしか測れないなら、半径のとてつもない大きな円を描けばいいだけですが、それもどう考えても誤差が生まれますしね。

円周率は、直径に対する円周の長さなので、定義が「円周÷直径」なのです。
で、円周を測る時に、現実に巻尺を使うわけにもいかないので、理論で詰めていくのが数学です。

円に内接する正多角形と、外接する正多角形を考えて、その辺の長さを三平方の定理とか使って求めて、というのが円周率の求め方です。

半径１の円に内接する正三角形の辺の長さの和は３√３です。
半径１の円に外接する正三角形の辺の長さの和は６√３です。
半径１の円の円周は２πです。
ゆえに　３√３＜２π＜６√３
　2.598＜π＜5.196

半径１の円に内接する正方形の辺の長さの和は４√２です。
半径１の円に外接する正方形の辺の長さの和は８です。
半径１の円の円周は２πです。
ゆえに　４√２＜２π＜８
　2.828＜π＜4.000

半径１の円に内接する正六角形の辺の長さの和は６です。
半径１の円に外接する正六角形の辺の長さの和は４√３です。
半径１の円の円周は２πです。
ゆえに　６＜２π＜４√３
　3.000＜π＜3.464

ってな感じで絞り込んでいくと、そのうちπ≒3.14159265358979・・・ということがわかる、ということです。

もちろん、他にももっと効率的に円周率を算出する方法はあるのでしょうが、文系的ではなくなりますかね。
Wikipediaの円周率の項目をご覧いただければ、すぐに頭が痛くなると思います。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
ウィキペディアの円周率のページは、以前に見ました。ご推察のとおり数式は暗号でした。

ちなみに巻き尺の発想は、私の目の前にある円柱型のマグカップです。
文系人間として「三角形のイデア」みたいな概念は分かりますので、
実測が数学的ではない、ということは理解できます。

正多角形が円に近づいていけばいくほど、円周に等しくなるっていうことは
何となく分かります。（えっと、そういうことでいいんですよね。）

理論上限りなく近づくということが、特定の値を求めることになるのか、
ピンときませんが、なるほどなーと思いました。
少しすっきりしました！