円周率について。

質問

円周率について。Machinの公式π/4=4arctan1/5+arctan1/239で、arctanのテーラー多項式を用いて円周率を小数第4位まで計算しました。それぞれの級数を第3項まで計算したのですが、第4項以 降を省略しても小数第4位までの計算値に影響がないことを言うにはどうしたらいいのでしょう？正直明らかな話なのですが師曰く、「無限和をとって示す」か「第4項以降の和が0に近付くことを言う」とか…？うろ覚えなのですが。ん？という感じです。回答宜しくお願いします。

回答No.1

noname#199771

（第4項以降の和）
=4(4arctan(1/5)-arctan(1/239)
=16Σ[k=3～∞]((-1)^k)(1/(2k+1))(1/5)^(2k+1)-4Σ[k=3～∞]((-1)^k)(1/(2k+1))(1/239)^(2k+1)
=Σ[j=0～∞]((-1)^(j+3))(1/(2j+7))(16*(1/5)^(2j+7)-4*(1/239)^(2j+7))
≦1*(1/7)*16*(1/(5^7))*Σ[j=0～∞](1/25)^j
=(16/(7*(5^7))/(1-(1/25))
≦(10^(-5))*4
<10^(-4)