京大数学【５】 ２００９年

質問

p を素数, n を正の整数とするとき, ( p＾n )!はp で何回割り切れるか。

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【私の答】

(p^n)!=　p^n・(p^n-1)・・・p^(n-1)・・２・１

なので
pが何乗分含まれるかといったら

n+(n-1)+・・・+2+1
=n(n+1)/2回

だと思うんですが、模範解答だと複雑な答えで値も違うんです。

私の答の矛盾点をどなたか指摘して下さい。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞pが何乗分含まれるかといったら
＞n+(n-1)+・・・+2+1
＞=n(n+1)/2回

これは、p^1, p^2, p^3, ・・・, p^nとして数え上げた結果ですね。
たとえば、2pとか 2* p^2といった数も pで割りきれますよね。
pが素数であることに注意して、
「p^k（k＝ 1, 2, 3, ・・・, n-1）の倍数を拾い上げていく」ことを考えてみてください。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5648431.html

お礼

確かに！！

私のには、もれ　がありました！

ありがとうございました！

回答No.1

spring135

(p^n)!=　p^n・(p^n-1)・・・p^(n-1)・・２・１

まるでなってない。

(p^n)!=p^n・(p^n-1)・(p^n-2)・(p^n-3)・・・・2・1

このままではp^nがあるのでｎ回は割れるということしか言えません。

お礼

このままではp^nがあるのでｎ回は割れるということしか言えません。

確かに、この記述では、そう捉えられるかもしれません。

参考になりました！

補足

p^n から順順に１を引いていくと

p^(n-1)
・
p^(n-2)
・
・
がいずれ(p^n)！にでてきて、ｎ回　(n-1)回　・・・という意味です。すみません。(。。)