高一の数学の問題

質問

(1)12の5乗が２のn乗で割り切れるような最大の整数nを求めよ。
(2)aの2乗－bの2乗=8を満たす正の整数a、bの組をすべて求めよ。
上の2問の解答をよろしくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

(1)
12 = 2^2・3
より、
12^5 = 2^10・3^5
よって、12^5はマックス2^10で割れるので、
最大の整数は10

(2)
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 8
8 = 1 × 8 = 2 × 4 = 4 × 2 = 8 × 1
であるから、
a + b = 1
a - b = 8

a + b = 2
a - b = 4

a + b = 4
a - b = 2

a + b = 8
a - b = 1

1番目、2番目、4番目の連立方程式は整数でない解があったり負の解があったりするので不適
3番目の連立方程式から
(a, b) = (3, 1)

お礼

早くに回答ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました♪

回答No.1

shuu_01

（１）　12^5 ＝ (2^2・3）^5 ＝ 2^10・3^5
　　　　最大の整数 n は 10

（２）　a^2 － b^2 ＝（a + b）（a - b） ＝ 2^3
　　　a + b、a - b も整数なので
　　　組み合わせは
　　　a + b ＝ 8、a - b ＝ 1 か a + b ＝ 4、a - b ＝ 2 のみ
　　　a + b ＝ 8、a - b ＝ 1 の時は a ＝ 4.5 と整数とならず、
　　　a + b ＝ 4、a - b ＝ 2 の時の a ＝ 3、b ＝ 1 のみ

お礼

早くに回答ありがとうございました！
よくわかりました。
ありがとうございました♪