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正四角錘
正四角錘Ｐ-ＡＢＣＤで、底面の正方形の一辺が6、PA＝PB＝PC＝PD＝9 (1)この四角錘の内接球の半径を求めよ (2)PB、PDの中点をそれぞれQ、Rとする この四角錘をC、Q、Rを通る平面で切ったときの切断面の面積を求めよ 答え (1)、(6√14-3√7)/7 (2)、3√30 解き方を教えてください。 解説が詳しいとありがたいです。
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- yyssaa
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- yyssaa
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PT/(9-PT)*1*1＝1 2PT＝9 PT＝9/2 となりませんか？ ＞PT/(9-PT)*AC/CU*US/SP=PT/(9-PT)*(6√2/3√2)*1=1 2PT=9-PT、PT=3 になります。 ＞あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。 これはどうやるのでしょうか？ ＞直角三角形PAUについて、PA=9、AU=3√2 から PU^2=9^2-(3√2)^2=81-18=63、PU=3√7 になります。 点TからPUに垂線を下ろし、その足をVとすると、 △PTV∽△PAUですからPV/PU=TV/AU=PT/PA=3/9=1/3。 従ってPV=PU/3=√7、TV=AU/3=√2 になります。 次に直角三角形STVについて、 SV=PS-PV=PU/2-PV=(3√7)/2-√7=(√7)/2 になります。 従ってST^2=TV^2+SV^2=(√2)^2+(√7)^2/2^2=2+7/4=15/4 ST=√(15/4)=(√15)/2 になります。
お礼
ありがとうございます 最後に △PTV∽△PAUですからPV/PU=TV/AU=PT/PA=3/9=1/3 これはなぜでしょうか
- ferien
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正四角錘Ｐ-ＡＢＣＤで、底面の正方形の一辺が6、PA＝PB＝PC＝PD＝9 ＞(1)この四角錘の内接球の半径を求めよ 正四角錐の体積を２通りで表す。 正四角錐のＰからＡＢＣＤにおろした垂線の足をＨとする。 △ＰＡＨを考えると、角ＰＨＡ＝９０度より、直角三角形 ＰＡ＝９，ＡＨ＝６ルート２／２＝３√２（正方形の対角線の半分）より、 ＰＨ^2＝ＰＡ^2－ＡＨ^2＝９^2－（３√２）^2＝６３より、高さＰＨ＝３√７ 体積＝（１／３）×６×６×（３√７）＝３６√７ 内接球の半径をｒとすると、正四角錐の５つの面を底面、高さをｒとした四角錐と三角錐４つを 足したものが正四角錐の体積 △ＰＡＢのＡＢの中点をＭとすると、ＰＭが三角形の高さで、ＡＭ＝３，ＰＡ＝２だから、 ＰＭ^2＝ＰＡ^2－ＡＭ^2＝９^2－３^2＝７２より、ＰＭ＝６√２ △ＰＡＢの面積＝（１／２）×６×６√２＝１８√２ 体積＝（１／３）×６×６×ｒ＋４×（１／３）×１８√２×ｒ ＝（１／３）×（３６＋７２√２）ｒ よって、（１／３）×３６（１＋２√２）ｒ＝３６√７ （１＋２√２）ｒ＝３√７ ｒ＝３√７／（２√２＋１） ＝３√７（２√２－１）／（８－１） ＝(6√14-3√7)/7 ＞(2)PB、PDの中点をそれぞれQ、Rとする この四角錘をC、Q、Rを通る平面で切ったときの切断面の面積＞を求めよ ＲＱの中点をＧ，ＣＧの延長とＰＡの交点をＥとする。 Ｅから対角線ＡＣにおろした垂線の足をＦとする。 △ＰＤＢで、Ｑ，ＲはＰＢ，ＰＣの中点だから、中点連結定理より ＲＱ//ＤＢより、ＰＧ：ＧＨ＝ＰＱ：ＱＢ＝１：１から、ＧＨ＝ＰＨ／２＝３√７／２ ＲＱ＝（１／２）ＤＢから、ＲＱ＝６√２／２＝３√２ ＡＨ＝ＣＨ＝ＡＣ／２＝６√２／２＝３√２，ＣＦ＝ｘ，ＥＦ＝ｙとする。 △ＥＦＣ相似△ＧＨＣより、 ＥＦ：ＧＨ＝ＣＦ：ＣＨより、 ｙ：３√７／２＝ｘ：３√２ （３√７／２）ｘ＝（３√２）ｙ ……（１） △ＰＡＨ相似△ＥＡＦより、 ＡＨ：ＡＦ＝ＰＨ：ＥＦ ＡＦ＝ＡＣ－ＣＦ＝６√２－ｘより、 ３√２：（６√２－ｘ）＝３√７：ｙ ３√７（６√２－ｘ）＝３√２ｙ ……（２） （１）（２）を連立方程式で解くと、 ｘ＝４√２，ｙ＝２√７ よって、ＣＦ＝４√２，ＥＦ＝２√７ △ＥＦＣで、 ＣＥ^2＝ＣＦ^2＋ＥＦ^2より、 ＝（４√２）^2＋（２√７）^2 ＝６０より、ＣＥ＝２√１５ 切り口四角形ＥＱＣＲ＝△ＣＱＲ＋△ＥＱＲ ＝（１／２）×ＱＲ×ＣＧ＋（１／２）×ＱＲ×ＥＧ ＝（１／２）×ＱＲ×（ＣＧ＋ＥＧ） ＝（１／２）×ＱＲ×ＣＥ ＝（１／２）×３√２×２√１５ ＝3√30 図を描いて考えてみて下さい。
お礼
解説ありがとうございます
- yyssaa
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メネラウスの定理を習っておらず、検索してもよく分からないので教えてください > 次のサイトに証明付で分かり易い説明があります。 http://yosshy.sansu.org/theorem/ceva_mene.htm
お礼
理解できました ありがとうございます ＞あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。 これはどうやるのでしょうか？
補足
ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。 {PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1 PT/(9-PT)*1*1＝1 2PT＝9 PT＝9/2 となりませんか？
- yyssaa
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四角錐は立派な日本語です。 ほかに「正方錐」、「長方錐」などの呼び方もあります。 次のサイトに詳しいので、ご参考までに。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%A7%92%E9%8C%90
お礼
ありがとうございます
補足
補足質問なのですが ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。 {PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1でPT(=3)が得られます。 メネラウスの定理を習っておらず、検索してもよく分からないので教えてください
- yyssaa
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残りを回答します。 (２)の解き方 QRは二等辺三角形PBDから求めます。 △PBDはPB=PD=9、BD=正方形ABCDの対角線の長さです。 切断面の一部△CQRはCQ=CRの二等辺三角形。CQ(=CR)は 二等辺三角形PBC(PB=PC=9,BC=6,QはPBの中点)から求めます。 次に切断面の残りの部分を考えます。 QRの中点をS、CSの延長線とPAの交点をT、PSの延長線と ACの交点をUとします。この時に出来る二等辺三角形TQ(S)R が切断面の残りの部分になります。QRは分かっているので、 STが分かれば△TQRの面積が得られます。STを求めるために △PAC(PA=PC=9、AC=正方形ABCDの対角線の長さ)を考えると、 PUがこの二等辺三角形を二分する垂線であり、点SがPUの中点 で、CSの延長線上にTがあります。 ここでまずメネラウスの定理によりPTを求めます。 {PT/(9-PT)}*(AC/CU)*(SU/PS)=1でPT(=3)が得られます。 あとは直角三角形PAUで三平方の定理を使ってSTを算出します。 以上から△CQRの面積と△TQRの面積が求まるので、それらを 加えると３√３０になります。
お礼
ありがとうございます！
- mister_moonlight
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1対1対応の演習(東京出版)の例題。あっちこっちで 取り上げられている有名問題。 ベクトルでもいいし、初等幾何でメネラウスの定理の補助線を引いても良い。 http://search.yahoo.co.jp/search?p=%E5%9B%9B%E8%A7%92%E9%8C%98%EF%BC%B0-%EF%BC%A1%EF%BC%A2%EF%BC%A3%EF%BC%A4%E3%81%A7%E3%80%81%E5%BA%95%E9%9D%A2%E3%81%AE%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%BE%BA%E3%81%8C6%E3%80%81PA%EF%BC%9DPB%EF%BC%9DPC%EF%BC%9DPD%EF%BC%9D9+&search.x=1&fr=top_ga1_sa&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&aq=&oq=
お礼
1対1が元だったのですね ありがとうございます
- yyssaa
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とりあえず（１）の解き方は以下の通り。 内接球の中心と各頂点を結ぶと４個の三角錐と １個の正四角錘が出来ます。この５個の体積の 合計が元の正四角錘の体積になります。 内接球の半径は、元の正四角錘の各面（５面）と 直交するので、４個の三角錐と１個の正四角錘 のそれぞれの高さが、内接球の半径と等しくなります。
お礼
ありがとうございます
お礼
PA:PT＝3:1が他の辺にも使えるということですね 今までありがとうございました