正四角錘台と直方体の等積変形

質問

底面の一辺がa、上面の一辺がbで高さがhの正四角錘台があります。
この体積VIは
VI＝h×(a^2＋ab+b^2)/3
と表せます。

ここで、上記の正四角錘台を、高さhで、上面と底面を結ぶ4つの辺の中点で切断した正方形を底面（もしくは上面）とする直方体と等積変形することを考えます。この場合、底面の一辺は（a+b）/2、高さがhの直方体と考えることができると思います。この体積VIIは
VII＝h×（（a+b）/2）^2

VIとVIIは等積のつもりなのでVI＝VIIとなるはずだったですが、どこが間違っておりますでしょうか。
図形がなく分かりにくいのですが、よろしくお願い致します。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

VI＝h×(a^2＋ab+b^2)/3
VII＝h×（（a+b）/2）^2

h=2,a=3,b=1でVI、VIIを求めてみよう。

VI＝2×(3^2＋3・1+1^2)/3=2×(9+3+1)/3=26/3

VII=2×{(1+3)/2}^2=2×(2^2)=8

明らかに、26/3と8は等しくない。

＞どこが間違っておりますでしょうか。

「底面の一辺は（a+b）/2、高さがhの直方体と考えることができる」が間違い。

等積にするなら、正四角柱の底面の正方形の辺の長さをcとすると

VI＝h×(a^2＋ab+b^2)/3
VII＝h×c^2

になるから

h×(a^2＋ab+b^2)/3＝h×c^2

となる筈。

(a^2＋ab+b^2)/3＝c^2
c=√((a^2＋ab+b^2)/3)

なので、cの長さは√((a^2＋ab+b^2)/3)でなければならない。

回答No.2

ORUKA1951

錐体は同じ底面積の直方体の1/3の体積ですから、底面積を1/3にしないと・・
ということは、底面積が1/3より一辺の長さは1/√3 斜辺の1/√3の位置に側面を立てないとならないはずだけど・・

回答No.1

Tacosan

「等積」と思い込んだところ.