数学の問題なのですが・・・教えてください!!

質問

Oを原点とする座標平面上にA(3.0)　B(０，４）をとる。三角形OABの周上を動く２つの点P,Q
が、点Pは辺OA上をO→Aと、点Qは辺AB、BO上をA→B→Oと動く。ただしP,Qは同時に
出発し、Qの速さはPの速さの3倍である。

P(ｔ、０）（０<ｔ<３）のとき、三角形APQの面積をStとする。
Stの最大値とそのときのｔの値を求めよ。

詳しく教えてください！！
よろしくお願いします・・。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞Oを原点とする座標平面上にA(3.0)　B(０，４）をとる。三角形OABの周上を動く２つの点P,Q
＞ が、点Pは辺OA上をO→Aと、点Qは辺AB、BO上をA→B→Oと動く。ただしP,Qは同時に出発し、
△OABは、直角三角形だから、
AB＝√(OA^2＋OB^2)＝√(3^2＋4^2)＝√25＝5
＞Qの速さはPの速さの3倍である。
だから、Pが長さtだけ動くと、Qは長さ3t動く。（OP＝t，AQ＝3t）
AQの長さyとすると、ｙとtの関係は、y＝3tとおける。

＞P(ｔ、０）（０<ｔ<３）のとき、三角形APQの面積をStとする。
＞Stの最大値とそのときのｔの値を求めよ。
△APQは、APが底辺で、Qの位置で高さが変わる。高さが最大4になるとき、Qは5動くから、
y＝5のとき、5＝3t　より、t＝5/3
だから、
QがA→Bを動くとき、OPは0～5/3まで増加すると、高さは0～4まで増加し、
QがB→Oを動くとき、OPは5/3～3まで増加すると、高さは4～0まで減少する。

(1)　QがA→Bを動くとき
0≦t≦5/3のとき、高さをh1とすると、0≦h1≦4
(t,h1)＝(0,0)，(5/3,4)　と対応する。
h1とtの関係は、h1＝a1・t＋b1　とおくと、上の座標を代入して、
b1＝0，4＝a1・(5/3)　より、a1＝12/5　よって、h1＝(12/5)t
AP＝OA－OP＝3－t
△APQの面積St＝(1/2)・AP・h1＝(1/2)・(3－t)・{(12/5)t}
＝-(6/5)(t^2－3t＋9/4)＋(6/5)・(9/4)
＝-(6/5){t－(3/2)}^2＋(27/10)
0＜t≦5/3だから、t＝3/2のとき、最大値St＝27/10（＝81/30)

(2) QがB→Oを動くとき
5/3≦t≦3のとき、高さh2とすると、0≦h2≦4
(t,h2)＝(5/3,4)，(3,0)　と対応する。
h2とtの関係は、h2＝a2・t＋b2　とおくと、上の座標を代入して、
a2＝(0－4)/{3－(5/3)}＝-3　0＝-3・3＋b2　より、b2＝9
よって、h2＝-3t＋9
St＝(1/2)・(3－t)・h2＝(1/2)・(3－t)(-3t＋9)
＝(1/2)(3t^2－9ｔ＋27)
＝(3/2)(t－3)^2　
5/3≦t＜3だから、t＝5/3のとき、最大値St＝8/3（＝80/30）

(1)(2)を合わせると、Stの最大値は27/10　そのとき、t＝3/2

図を描いて考えてみてください。

回答No.4

yyssaa

＞AB=√(3^2+4^2)=√25=5だから3t≦5すなわち0＜t≦5/3ではQは
AB上にあり、St=(1/2)*(3-t)*(12t/5)=(-6/5)(t^2-3t)
=(-6/5)(t-3/2)^2+27/10だからt=3/2のときStは最大値27/10・・・(1)
5/3≦t＜3のときQはOB上にありSt=(1/2)*(3-t)*{4-(3t-5)}
=(1/2)*(3-t)*(9-3t)=(3/2)*(t^2-6t+9)=(3/2)*(t-3)^2だから
Stのグラフは(3,0)を極小点とする下に凸の二次曲線になるので、
5/3≦t＜3の範囲でStはt=5/3で最大となり、その値は
St=(3/2)*(5/3-3)^2=8/3・・・(2)
(1)(2)よりStの最大値は27/10、とそのときのtは3/2・・・答

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。　
助かりました！！

回答No.3

jacob-wk9

連投すいません。No1です。
p=5/3つまり点Q=点Bになったあとは、高さも底辺も減る一方なのでよって面積が減ることは
自明なので計算しなくてもいいかも、です。

回答No.1

jacob-wk9

頭の体操でやってみただけなのでご容赦ください。
2通りに分けたらいいのかな、と思いました。

点Ｑが辺ＡＢを動いている間は、三角形ＰＱＡの高さは、３：４：５の定理に従うと思います。

ここまでが、p=5/3までの求め方です。
平方式に整形すると負の式になりますので、ＭＡＸ値を出せます。
ＭＡＸ値の時のpが5/3を超えていないことも念のため確認します。

次にp>(=)5/3ｐの求め方ですが
p値によって、ＢＯの高さがどのようになるかを求めます。（単純な一次式になると思います。）
その高さ×底辺（３－p)×1/2です。
同じように平方式にまとめますが、これは正の式になりますので、結果的にはＱがＢにあるときが一番面積が大きい
ということになります。

よって、前者の辺ＡＢにあるときのＭＡＸ値が条件を満たす一番大きい三角形（ＡＰＱ）になる、ということだと思います。
間違ってたらすいません。