衝突について

質問

２物体の衝突では、ばねがあろうが重力があろうが、常に運動量保存則が成り立つ、そうなのですが、なぜばねや重力のする力積を無視することができるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.4

KENZOU · ベストアンサー

摩擦のないツルツルの水平面上にある２物体A,B（それぞれの質量：mA、mB）が衝突した場合を考えます（但し、外力は一切働いていないとする）。衝突前後のA,Bのそれぞれの速度が
　（A)　vA→vA'、(B)　vB→vB'
と変化したとしましょう。ここで座標軸として、物体Aの衝突前の進行方向をx軸の正の方向としておきます。A,Bが衝突した瞬間は下図のように物体Aは物体Bから-Fの力、同様にBはAから+Fの力Fを受けますね(作用反作用の法則：系全体としての力の合力は０）。　　
　　　　　　　　　　A　B
　　　　　　　　　←●●→
　　　　　　　　　－F　＋F　　
衝突時間は極めて短く、この時間（力が作用している時間）を△tとし、物体A,Bについてニュートンの運動方程式（F＝mα＝m△v/△t)を立てると、△ｖを衝突前後の速度の変化分として
（A）－F＝mA(△V/△t)＝mA(vA'-vA)/△t　　(1)
（B）　F＝mB(vB'-vB)/△t　　(2)
となります。(1)と(2)から
　　mAvA＋mBvB＝mAvA'＋mBvB'　(3)
となって、衝突前後で系の運動量は保存されることが分かります。ポイントはこの系に外力が一切作用していないというところににあります。また、いま、物体A,Bは水平面上に置いていますから運動方向である水平方向の重力成分は０（重力は水平面に垂直に作用）となり、外力としての重力はこの系に作用しないことになります。尤も、面を傾けたりすると重力が作用しますので,この場合は系全体の「力学的エネルギーが保存」されるということになります（→参考ＵＲＬ）。ついでにこのサイトのココ↓も参照してください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=733877
バネのケースはElectricGamoさんが回答されているように
内力の合力は０となり、外力の作用はないということから上の議論を使うことができますね。
（P.S)
物体A,Bが互いにバネで結ばれて
　　　　　　A　　　　　　B
　　　　　　●＼／＼／＼●
バネが伸びた

　　　　●＼／＼／＼／＼／＼／＼●
　　　　　→　　　　　　　　　←
　　　　　FB　　　　　　　　　FB
大きさ一緒で向きが反対の力FBがそれぞれに作用し、系全体の力はF＝FB-FB＝０となる（内力の合力の和）。

参考URL：

http://www.mech.cst.nihon-u.ac.jp/studies/okano/studies/phys/butsurist.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

参考にさせていただきますｍ(＿＿)ｍ

補足

733877の、KENZOUさんの回答を読ませていただきました。

よかったらでよいのですが、
＞釘の移動距離をx1、金槌の移動距離をx2とするとニュートンの運動方程式を解いて
　x1＝(1/2m1)F(△t)^2　　(4)
　x2＝v0t－(1/2m2)F(△t)^2　　(5)

と(4)(5)式の出し方がわからなかったので、教えていただきたいです。

回答No.6

KENZOU

＞釘の移動距離をx1、金槌の移動距離をx2とするとニュートンの運動方程式を解いて
　x1＝(1/2m1)F(△t)^2　　(4)
　x2＝v0t－(1/2m2)F(△t)^2　　(5)
と(4)(5)式の出し方がわからなかったので、教えていただきたいです。

う～ん、とこれは等加速度運動の公式からでますね。初速度v0、加速度ａ、時刻ｔ後の速度をｖとすると
　ｖ＝at＋v0
　ｘ＝(1/2)at^2＋v0t＋x0
初期値としてv0＝x0＝0とおいて、tは経過時間ですから△tと置きなおします。また加速度ａはこの場合
　ａ＝F/m1
となりますから、これらを公式に代入すると(4)がでると思います。(5)も同様にやればでるはずですね。これはご自分で確認してください。

お礼

ありがとうございます！
わかりました☆

回答No.5

ElectricGamo

#3です。説明を変えてみます。記号は同じです。

運動量の変化は加えられた力積によりますので、衝突時間をΔtとすると、それぞれの力積の変化は

　質点1: ΔP_1=(F_{21}+F_1)Δt
　質点2: ΔP_2=(F_{12}+F_2)Δt

となります。これを足すと、

　ΔP=ΔP1+ΔP1=(F_{21}+F_1)Δt + (F_{12}+F_2)Δt
　　= (F_{21}+F_{12})Δt + (F_1 + F_2)Δt=(F_1 + F_2)Δt

となるので、運動量に変化を与えるのは外力による力積(F_1 + F_2)Δtのみです。ばねの力は内力ですので消えます。重力は外力ですので、運動量に変化を与えますが、衝突による F_1とF_2の方が桁外れに大きいので無視できます。(また、運動量はベクトルですので水平面上の衝突では重力の向きとは直交する成分のみが変化して、見かけ上重力による運動量変化はないように見えます。)

お礼

ご回答ありがとうございます。
今度から質問のはじめに書いておきます。

＞ばねの力は内力ですので消えます。重力は外力ですので、運動量に変化を与えますが、衝突による F_1とF_2の方が桁外れに大きいので無視できます。(また、運動量はベクトルですので水平面上の衝突では重力の向きとは直交する成分のみが変化して、見かけ上重力による運動量変化はないように見えます。)

などなどとても勉強になりました。
参考にさせていただきます。

回答No.3

ElectricGamo

ばねの力は内力なので消えてしまいます。

まず質点1と2があるものとします。質点2が質点1に及ぼす力を内力F_{21}とし、それ以外の力を外力F_1とします。同様に質点2についても、F_{12}とF_2を定めて運動方程式を立てると、

　質点1: dp_1/dt=F_{21}+F_1
　質点2: dp_2/dt=F_{12}+F_2

内力については、F_{21}+F_{12}=0なので、二つを足すと

　d(p_1+p_2)/dt=F_1+F_2

になり、内力が消え、系の運動量 P=p_1+p_2と外力の合計 F=F_1+F_2の間には

　dP/dt=F

の関係が成り立ちます。重力は外力ですが、上式よりΔP=FΔtですのでので、衝突のような短い時間に起こる出来事ではΔt→0からΔP→0となり、近似的に0とみなせます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

高校生なのですが、
微分や積分がでてくるとちょっと分からなくなってしまいます。

それらを使わないで教えていただけるでしょうか？

回答No.2

winterofmeei

例えば、ビリヤードの玉の衝突をみたとき、運動量保存則が成り立っているにもかかわらず、玉はいつか止まってしまいます。
これは（重力により）摩擦が影響しているからです。

「重力を無視する」という表現は分かりませんが、
「床と物体の間に生じる摩擦は無視する」という表現は結構ありますが…

お礼

ご回答ありがとうございます。
質問者もよくわかってないことを聞いて申し訳ありませんでした。

回答No.1

winterofmeei

バネや重力の力積を無視するとはどのようなことを意味してるのでしょうか？

確かに運動量保存則は成り立ちますが、重力などの記述についてもう少し説明していただけませんか？

補足

雑な書き方をして申し訳ありません。
というか、僕自身あんまりわかってないのです(＾＾；

例えばばねにつらされている小球にボールがぶつかるとき、
ばねの力積は無視できる、というような意味かなと思います。
重力の力積というのはちょっとわからないです・・。

よろしくお願いします。