関数の最大値・最小値
関数f(x)の最大値や最小値を求める際、まずf'(x)を求め
f'(x)=0となるようなxと定義域の端のx等から増減表を作りますが、
場合によってはf(x)のx→∞のときの極限等を考えなければならない
、と参考書に書いてありました。
そこで何故だろうと自分で考えてみたのですが、おそらく関数の
一番右端や左端、つまりx→∞やx→-∞のとき最大値や最小値を取る可能性があるため、それを考慮する必要があるのではないかと思いました。
しかし、この自分の考えに基づけばx→∞やx→-∞の極限を考えなければならないのに、問題によってはそれを考慮せずに終わる解答がありました。自分の考えが間違っているのか、それとも考慮しなくても解答できるのかどちらかご教授いただきたいと思います。
下の(1)がx→∞やx→-∞の極限を考慮した解答の載っていた問題で、(2)、(3)は考慮しない解答の載っていた問題です。問題はともに最大値・最小値を求めよです。
(1)y=(x-1)/(x^2+1)
最大値:(√2-1)/2 x=1+√2
最小値:(-√2-1)/2 x=1-√2
(2)y=x-√(x^2-1)
最大値:1 x=1
最小値:なし
(3)y=√(x^2+1)+√{(x-3)^2+4}
最大値:なし
最小値:3√2 x=1