数III指数対数

質問

xの方程式 a^x=log[a]x (0<a、a≠1) の実数解の個数をaの値によって分類したいのですが、

どなたか解説してもらえませんか。

[a]は底がaであることを表し、eは自然対数の底です。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

a^x=log[a]x　...(1)
この方程式の左辺と右辺をそれぞれyとおいた２曲線
　y=a^x ...(2)
と
　y=log[a]x ...(3)
が逆関数の関係にあることから互いに直線y=xに軸対称な曲線になります。
これらの２曲線はy=xに軸対称がゆえに交点が存在すればその交点は必ず
直線
　y=x ...(4)
上にあり、直線上にない交点は存在しません。
従って、元の方程式(1)の解は
曲線(2)：y=a^x
と
直線(4):y=x
との交点と一致します。
なので、方程式式(1)の解は
　a^x=x ...(5)
の解と一致します。
ここで(1)からxの真数条件から
　x>0 ...(6)
この定義域で(5)から
　a=x^(1/x) ...(7)
この右辺の関数
　y=x^(1/x) (x>0) ...(8)
は
　0<x<eの範囲で単調増加
　x=eで最大値（極大値）e^(1/e) をとり
　e<xの範囲で単調減少
　x→+0の時y=x^(1/x)→0
　x→+∞の時y=x^(1/x)→1(y=1が漸近線)
という関数になります。
(8)とy=aの交点のx座標が方程式(7)の解であり、方程式(5)、即ち、方程式(1)の解でもあるから
　0<a<1の時　交点は１個なので　(1)の実数解は１個
　1<a<e^(1/e)の時　交点は２個なので　(1)の実数解は２個
　a=e^(1/e)の時　交点は１個(重解)なので　(1)の実数解は１個（重解）
　a>e^(1/e)の時　交点は存在しないので　(1)の実数解は0個
となります。

お礼

ありがとうございます！！！
感動しました(*´∀｀*)