指数対数

質問

連立方程式

　　　2^x+3^y=43
log2(x)-log3(y)=1

(1)連立方程式を満たす自然数x,yの組を求めよ

(2)この連立方程式を満たす正の実数x,yは(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ

この問題を3日間考えているのですがどうしていいかわからず困っています。
どなたか解答お願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

x,y が自然数と決められていることが大切。
一本目の式から、A No.1 のように
x,y の範囲が限定されるので、
その範囲の全ての (x,y) を両式に代入してみて
成立不成立を確認すればよい。
それで (1)(2) 同時に解決する。
整数問題特有の全数検査という考えかた。

回答No.3

banakona

じゃあ私は（２）を担当。

2^x+3^y=43　をｘで微分すると　ｌｎ２・２^x＋ｌｎ３・３^y・ｙ'＝０
　　∴ｙ'＝－ｌｎ２・２^x／（ｌｎ３・３^y）　　・・・(A）
ここでlnｘはｘの自然対数。
ln２、ln３はプラス。ｘ、ｙが実数なら２^x、３^ｙは、プラスだから定義域全体でｙ'＜０
つまり定義域全体でｙは単調減少。

log2(x)-log3(y)=1　をｘで微分すると　１／（ｘｌｎ２）-ｙ'／（ｙｌｎ３）＝０
　　∴ｙ'＝ｙｌｎ３／（ｘｌｎ２）
ln２、ln３は、プラス。
またｘ、ｙは真数だからｘもｙもプラス。　よって定義域全体でｙ'＞０
つまり定義域全体でｙは単調増加。

以上より２曲線　2^x+3^y=43　と　log2(x)-log3(y)=1　は、交点（ｘ、ｙ）＝（４，３）の前後で互いにどんどん離れていく。
つまり（４，３）以外に交点を持たないことになり、この連立方程式を満たす正の実数x,yは(1)で求めた自然数の組以外に存在しない。

お礼

解答ありがとうございます。自分まだIIIの微分やっていなくて(汗) 理解できるように勉強します。

回答No.2

spring135

log2(x)-log3(y)=1

log2(x)=log3(y)+1=log(3)3y=u

とおくと

x=2^u

3y=3^u

すなわち

y=3^(u-1)

2^x+3^y=43へ代入

2^2^x+3^3^(u-1)=43

つまり

4^u+27^(u-1)=43

u=2

は上式を満たす。

つまり

x=4, y=3

QED

お礼

解答ありがとうございます。

回答No.1

noname#187403

xを固定してｙを考えてみます
上の式からｙは１，２，３のどれかです
（yが4以上だと３＾ｙの部分だけで43超えるから）

上の式にｙ＝１，２，３をあてはめて自然数ｘを探すと
（ｘ、ｙ）＝（４，３）しかないはず

これは下の式にも合います

これをまともに書けば（２）もできるのでは

お礼

解答ありがとうございます。