万有引力の問題

質問

万有引力で物体同士が引き合う場合、もし角速度が０であれば、最終的にはぶつかってしまいます。
このとき距離rを時間tの関数として求めたいのですが、
運動方程式は、
mr"=-GMm/r^2
となり、この微分方程式が解けません。
　ちょっと考えてみて、なんとなく時間がたつにつれて距離が縮まって、速さが大きくなるような関数だということはわかります。結構単純な関数のような気がして色々考えてみたのですが、わかりそうで中々わかりません。気になってしょうがないのですが、どなたかわかる人いませんか。

回答No.3

funifuni11 · ベストアンサー

mr" = -GMm / r^2
についてですが、両辺に2r'をかけてみてください。
そうすると、両辺ともにtで積分できる形になるはずです。

積分してみると、今度はrとr'の一階非線形の方程式になります。
ここで、r'=pとおくと、この方程式はr=f(p)と表せます。

さらに、p=dr/dtより、
dt = dr/p = dr/dp・dp/p
= df/dp・dp/p
となりますが、右辺はpだけで表せたことになるので、
変数分離形で積分することが出来ます。
これと、r=f(p)の式を連立することで、
r=r(t)の形で表せるはずです。

ちょっと難しいですが…
一階非線形になったあとの解き方は、
微分方程式の教科書などにはたいてい載っています。

お礼

できました!
r=(GM*9/2)^(1/3)*(t-t0)^(2/3)
これなら何とか微分方程式をみたしているようです。
　もう一度参考書を読み直してみたのですが、一階非線形の方程式は、特殊解になることが多いと書いてありました。今まで解けそうで解けなかった積分は、定数項が邪魔だったことに気づき、これを０とおいたらすごく簡単に解けました。
　前々からずっと気になっていたので解けてものすごくうれしいです！ありがとうございます！！

回答No.4

keyguy

1次元に限定しなくても3次元でも厳密に美しく解析的に2体問題を解く事ができるのですが1次元運動ですね

そもそも運動方程式が間違っています
運動直線状の慣性系の任意の点を原点に取り
mの位置をxとし
Mの位置をXとすると
mの運動方程式は
m・x"(t)=-G・M・m・（x(t)-X(t))/|x(t)-X(t)|^3
Mの運動方程式は
M・X"(t)=-G・M・m・（X(t)-x(t))/|X(t)-x(t)|^3
です
r(t)=x(t)-X(t)
としたいならば先の方程式から
x"(t)=-G・M・（x(t)-X(t))/|x(t)-X(t)|^3
X"(t)=-G・m・（X(t)-x(t))/|X(t)-x(t)|^3
となるから辺々引いて
r"(t)=-G・(M+m)・r(t)/|r(t)|^3
となる

0<r(t)の場合は
r"(t)=-G・(M+m)/(r(t))^2
r(t)<0の場合は
r"(t)=G・(M+m)/(r(t))^2

補足

ご回答ありがとうございます。
ただこの場合、X=0,r>0と仮定していました。（書いて無かったですけど）いずれにせよ、方程式が解けたので、よかったです。

回答No.2

ryn

微分方程式
　r"=-GM/r^2
に関しては，両辺に r' をかけて積分すると
　(1/2)(r')^2 = GM/r + c
となります．ここで，
　c = -GM/R
を選ぶと nabla さんの初期条件の場合になります．

つぎに，
　√{x/(R-x)}dx
の積分は
　(Arcsin(√x))' = 1/√{x(1-x)}
あたりをつかってなんとかしようとしたのですが，
なかなか大変だったので少しずるをして Mathematica を使うと
　-√{x(R-x)} + R*Arcsin[√(x/R)]
となりました．

r を t の関数として解析的に表すことは出来ないということですね．

補足

ご回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

nabla

はじめの距離をＲ初速度を0とし、太陽は動かないとします。
そうすると力学的エネルギー保存則から
(1/2)ｍｖ^2－ＧＭｍ/ｘ＝－ＧＭｍ/Ｒ
これをｖについて解くと
ｖ＝√{2ＧＭ(1/ｘ－1/Ｒ)}
またｖ＝ｄｘ/ｄｔだから
ｄｘ/ｄｔ＝√{2ＧＭ(1/ｘ－1/Ｒ)}
⇔√{ｘＲ/(Ｒ－ｘ)}ｄｘ＝√(2ＧＭ)ｄｔ
これを時間０からＴで距離Ｒからｒで積分すれば答えがでてくるんじゃないでしょうか。

補足

ご回答ありがとうございます。初めての質問だったので感激です。
　ただ
　　　　√{ｘＲ/(Ｒ－ｘ)}ｄｘ
この部分の積分がどうやったらいいのかちょっととわからないです。できればこの積分を教えていただきたいのですが。

　あと微分方程式のほうなんですが、r"=-GM/r^2という形で右辺にrの-2乗が含まれていているので、非線形の微分方程式だということはわかります。（調べました）それでこの場合、級数に展開してやるのが一般的で特定の解法は僕の持っている参考書には書いてなかったです。ただ、たとえばベッセル関数などに比べると形が簡単なだけに、なんとなく解けそうな気がします。r"=-GM/r^2という微分方程式について特定の解法をご存知でしたら、ぜひ教えていただきたいのですが。おねがいします。