2体問題（面積速度を使う？）

質問

質点1,2の位置ベクトルを<r1>,<r2>とします。両者の相対ベクトルが<r>=<r2>-<r1>です。
質点1が太陽、質点2が地球とします。両者には万有引力のみ働くとしてそのポテンシャルが
U(r)=-Gm1m2/<r> (G:万有引力定数,m1:太陽質量,m2:地球質量)
で与えられます。惑星は厳密には太陽を1つの焦点とする楕円軌道上を運動しますが、m1>>m2の場合、惑星の運動は太陽を中心とする円軌道で近似されます。この場合の公転周期Tと半径rの関係を求めよ、という問題です。

シンプルに万有引力と遠心力の釣り合いから考えればTはrの3/2乗に比例するはずですよね？
ところがこの問題はその前の問題との関連で面積速度を使うようなのです。換算質量μと極座標(r,θ)を用いて
μr^2(dθ/dt)=μh/2 (h:面積速度の2倍)
これを用いると
dθ/dt=ω　(ω:角速度)
から
T=2π/ω=(4π/h)・r^2
となりTがr^2に比例する式になってしまいます。どこかに間違いがあるのでしょうか？お願いします。

回答No.3

eatern27

#2です。勘違いしてました。申し訳ないです。

#1さんのご回答を参考にしてください。

回答No.2

eatern27

＞Tはrの3/2乗に比例するはずですよね？
ｒというか、楕円の長半径(という名前でしたっけ?)の3/2乗でしたよね？

＞dθ/dt=ω　(ω:角速度)
は一定ではないですよ。したがって、T≠2π/ω

回答No.1

Teleskope

なんか答えるのに躊躇しますね、
面積速度自身に√rが入ってるのでそれで約せば
　　T = Ｋr^1.5
ですよ。1.5=3/2

お礼

回答ありがとうございます！
実は面積速度関係ない問題のようでした；
ラグランジアンからラグランジェの運動方程式を導くくことによって、公転運動における地球に関わる運動方程式になるみたいです。
お騒がせしました。