大学の力学の問題です。

質問

次の問題を解いて下さい、お願いします。

質量ｍの惑星が定点Oに静止している質量Mの太陽からの万有引力を受けて運動している。

万有引力定数をGとして次の問いに答えよ。

定点Oを原点とする２次元極座標を用いて、平面内を運動する惑星の位置ベクトルを（rcosφ，rsinφ）と表す。

加速度ベクトルの動径方向（ｒ方向）の成分、方位角方向（φ方向）の成分を求めよ。

また、これを用いて惑星の動径方向（r方向）の運動方程式、および方位角方向（φ方向）の運動方程式を記せ。

回答No.4

biones

1, 加速度は位置ベクトルを時間を２回微分する（φとrが時間に依存することを忘れないでください）
2, r-φの座標系に変換する（２次元の直行座標変換の公式は線形代数あたりで習ったと思います）
3,　万有引力は最初からr方向のみの関数なので(2)で変換したr方向の運動方程式を立てる。φ方向の運動方程式の右辺は0

ラグランジュ形式なら速度を計算すれば良いので一階微分までの計算で機械的に運動方程式が立ちますけど、とりあえず設問通りで。

回答No.3

yokkun831

方針と途中結果のみ示します。
r~は位置ベクトル、e_r,e_φはr方向およびφ方向の単位ベクトル（基底）を表します。また時間微分（ドット、ダブルドット）を’および”で示します。

r~ = r・e_r
r~' = r'e_r + r(e_r)' = r'e_r + rφ'e_φ
r~" = r"e_r + r'(e_r)' + r'φ'e_φ + rφ"e_φ + rφ'(e_φ)'
・・・と計算していきます。ただし、e_r,e_φは動いていくので
(e_r)' = φ'e_φ、　(e_φ)' = -φ'e_r
の関係が成立します。これは回転の角速度φ'であることやまたは直交座標の基底に書き戻すことで容易に証明できます。基底を用いない方法は下記を参照ください。
http://www14.plala.or.jp/phys/tools/9.html

結果、
a_r = r" - rφ'^2 、　a_φ = rφ" + 2r'φ' = (r^2φ')'/r
となり、動径方向の運動方程式は遠心力項を含むものになり、方位角方向の運動方程式は角運動量保存すなわち面積速度一定の方程式になります。

回答No.2

info22

以下のURLが参考になるかと思いますのでご覧になって十分で解答を導いて下さい。
http://www.asiaa.sinica.edu.tw/~hirashita/lecture/mathematica/doc/sub6-1.pdf
http://www.ylab.sk.shibaura-it.ac.jp/yoshino_web/kisorikikouki08.files/081021c.pdf
http://scphysblank.tubakurame.com/dyna/dynach4.html

回答No.1

Lokapala

惑星の運動は円運動ですか？楕円運動ですか？どっちで考えるかによって変わると思います。

もし円運動として考えていいなら、高校の知識で解けます。

楕円運動を考える場合ですが、惑星の軌跡がないとまず解けない気がします。（私はそれでも解けませんが）

問題をそのまま引用してきたのであればほぼ確実に円運動としていいと思います。

あと、問題の丸投げは良くないです。