２次方程式の解の範囲

質問

2次方程式 x*2-4ax+5a-1=0 の解が次のようになるとき、定数aの値の範囲を求めよ。

(1) 異なる2つの解がともに1より大きい

(2) 一方の解は1より大きく、もう一方の解は1より小さい

お願いしますm（_ _）m

.

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

何でも、グラフを持ち出せば良い、という事ではない。
その方法が、計算に比べてより簡単になる場合や　その方法の方が考え易く、ミスを防ぎ安い場合ならその方が良い。
しかし、この問題に限れば、＃3のように、解の分離として解くのがbetterだろうし、計算でのほうが余程　簡単に行く。

計算で解くとき、解と係数だけからでも解ける。

2つの解をα、βとする。解と係数から、α＋β＝4a、αβ＝5a-1

(1)
先ず、判別式＞0。
α＞1、β＞1であるから、(α-1)＋(β-1)＝(α＋β)-2＞0、(α-1)*(β-1)＝αβ-(α＋β)＋1＞0。これに、α＋β＝4a、αβ＝5a-1を代入するだけ。3つの条件を満たす　aの共通範囲を求める。

(2)
条件から、α＞1＞β、or、β＞1＞α であるから、(α-1)*(β-1)＝αβ-(α＋β)＋1＜0。これに、α＋β＝4a、αβ＝5a-1を代入するだけ。
この場合は判別式は要らない。何故か？　その理由を考えよ。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

htms42

＃４です。
＃５様の仰る通りです。
「何をごちゃごちゃやっとるんや」という内容になっていますね。
「ボツ」にしてもいいでしょう。

＃３様の回答が一番簡単です。
でも、その一番簡単な回答も見つけることが出来なくて質問に出しているわけです。
それも丸投げの形でです。

＃３のやり方でも放物線を動かしてみるという発想がなければ見えてきません。
１、－１に点を打ったｘ座標は固定です。その点との位置関係を考えながら放物線を動かします。
簡単な図を描けばすぐに分かる内容ですが、多分それもやっていないでしょう。
（私の書いたものは放物線は動かさずに直線だけを変化させるというものです。こんな回り道でも「あ、そうか！それなら全体を動かしてもいいではないか、それの方が簡単だ！」と思い当るのであればそれなりに意味があると思います。問題によっては直線だけを動かして考える方が楽な場合もありますから。）

放物線のイメージを使わないのであれば＃５にある回答のようなものになるでしょう。でも＃５に書かれている内容がすぐに理解できるレベルにあればこういう質問は出てこないでしょう。

多分、模範解答にある解法をひたすら覚えるのが数学の勉強だと思っているでしょう。
自分の覚えたものと少し表現が異なれば立ち往生するのでしょう。覚えた事を手掛かりにしていろいろいじくってみて、回り道かもしれないが何とか答えにたどり着いたという経験はあまりしていないだろうと思います。

お礼

これは回答になっていません。

ただの嫌味です。

回答No.4

htms42

いきなり式でやろうとすると式に振り回されます。

「お願いします」と言っていくら回答を貰ってもイメージの取れないままになります。

図を書きましたか。私は必ず図を書きます。

この問題ではａの値が変わります。
ａを変えた時に図が大きく変わってしまえばイメージが取れません。
動く部分を小さくするように工夫します。
ａの付いている部分と付いていない部分に分けます。
ｘ^2－１＝ａ(４ｘ－５)

ｆ１：ｙ＝ｘ^2－１
ｆ２：ｙ＝ａ(４ｘ－５)

ｆ１、ｆ２のグラフの交点を求めればいいことが分かります。
ａを変えてもｆ１は動きません。ｙ＝０でｘ＝１、－１です。ｘ＝０でｙ＝０です。
ｆ２のグラフはｘ＝５／４を通る直線です。ａを変えると直線の傾きが変わります。

傾きを変えていろいろと直線を書いてみて下さい。交点がどういう位置にくるかすぐに分かります。
イメージが取れてからだと計算するとしても気が楽です。方向が見えているのですから。

(イ)ａ＝０であればｆ２はｘ軸と一致します。交点はｘ＝１、ｘ＝－１の２つです。
(ロ)ここからａの値を大きくしていきます。ｆ１の放物線の下のふくらみの部分で交わります。
　２つの交点は－１＜ｘ＜１にあります。
　あるところで接する状態になってから離れます。どこで離れるかは計算が必要です。
(ハ)さらにａを大きくしていきます。放物線の右上の方で接するようになります。その後は交点が２つになります。　どちらの交点も１よりも大きいです。（どちらの交点も５／４よりも大きいはずです。）
　接する時のａの値は計算で出ます。これが問題の（１）です。
(ニ)図で考える時はｙ軸に平行になると交点が１つになります。
　でもこれはａ＝∞、－∞　に対応しますから除外されます。
(ホ)ａ＜０の場合、交点はｘ＜－１と１＜ｘ＜５／４の２つになります。これが問題の（２）です。

どこで接するかを決めなければいけないところで計算が必要になってきます。
そこで初めて元の式に戻って判別式を考えればいいです。

回答No.3

nag0720

f(x)=x^2-4ax+5a-1
として、２次関数のグラフ（放物線）を想像すれば分かると思いますが、

(1)異なる2つの解がともに1より大きいのは、
放物線の頂点のx座標が１より大きく、判別式＞０かつf(1)＞０　となる場合です。

(2)一方の解は1より大きく、もう一方の解は1より小さいのは、
f(1)＜０　となる場合です。

回答No.2

white-kitten

私なりの見解を述べさせて頂きます。

x^2-4ax+5a-1=0より、x=2a±√(4a^2-5a+1)

(1)
題意より、
2a±√(4a^2-5a+1)＞1
±√(4a^2-5a+1)＞1-2a
4a^2-5a+1＞1-4a+4a^2
a＜0 ,,

(2)
題意より、
2a+√(4a^2-5a+1)＞1,
2a-√(4a^2-5a+1)＜1
(1)と同様にして、a＞0, a＜0,,

間違っている可能性もありますので、参考程度にしていただけると幸いです。

お礼

この解法は発想にありませんでした。
ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんにちは。

解の公式により、
大きい方の解　＝　１／２・［４ａ　＋　√｛１６ａ^2　－　４（５ａ－１）｝］
小さい方の解　＝　１／２・［４ａ　－　√｛１６ａ^2　－　４（５ａ－１）｝］

（１）
小さい方の解　＞　１

（２）
大きい方の解　＞　１　　かつ　　小さい方の解　＜　１