数列について 急いでいます

質問

急いでいるので、早めの回答お願いします。

　実数xに対し、x以上の整数のうちで最小のものを<x>で表すことにする。
　これを用いて、　
　　A1=1
An=A(n－1)＋<n/2> (n≧2) と定める。

　(1) A1001　を求めよ。
　(2)　自然数mに対してΣ（2m＋1, k=1)を求めよ。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の訂正

#1,#3さん指摘有難う。
おっしゃる通りです。
>ANo.2の<3/2>、<5/2>の値は間違いでは？

>実数xに対し、x以上の整数のうちで最小のものを<x>で表すことにする。
<x>の定義をガウス記号と同じと勘違いしてました。

なのでこの箇所を訂正して以下に書き直しますので、
A#2を以下と差し替えて下さい。

(1)
A1=1
A2=A1+<2/2>=1+1
A3=A2+<3/2>=1+1+2
A4=A3+<4/2>=1+1+2+2
A5=A4+<5/2>=1+1+2+2+3
A6=A5+<6/2>=1+1+2+2+3+3
...
A1001=1+1+2+2+2+3+3+ ... +500+501
=2(1+2+ ... +500)+501=500*501+501=501*501=251001

(2)
A#1の補足の訂正をとり混んで
>自然数mに対して　Σ（k=1,2m＋1)Ak
として

A1=1
A2=1+1
k≧3
A3=
k=2m(偶数)のとき　Ak=m(m+1)
k=2m+1(奇数)のとき　Ak=m(m+1)+m+1=(m+1)^2

Σ（k=1,2m＋1)Ak
=A1+A2+ ... +A(2m+1)
=1
+1+1
+1+1+2
+1+1+2+2
+1+1+2+2+3
+1+1+2+2+3+3
+1+1+2+2+3+3+4
+ ...
+1+1+2+2+3+3+4+ ... +m
+1+1+2+2+2+3+3+ ... +m+(m+1)
=
1^2
+2^2-2
+2^2
+3^2-3
+3^2
+ ...
+(m+1)^2-(m+1)
+(m+1)^2
=2(1^2+2^2+ ... +(m+1)^2)-1-(2+ ... +(m+1))
=2(1/6)(m+1)(m+2)(2m+3)-1-(1/2)m(m+3)
=(m+1)(m+2)(4m+3)/6

となります。

失礼しました。

お礼

丁寧に説明してくださってありがとうございました。
　助かりました。

回答No.5

yyssaa

よければ、(2)の説明を詳しくしていただけませんか。

Σ（k=1,2m＋1)Ak=1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+・・・・・+m+m+(m+1)
ここでS=1+2+3+4+5+・・・・・+(m-1)+mとおくと、
逆に並べ変えて
　　　S=m+(m-1)+(m-2)+(m-3)+(m-4)+・・・・・+2+1
となり、両辺をそれぞれプラスすると
左辺は2S
右辺は1+m+(m-1+2)+(m-2+3)+(m-3+4)+(m-4+5)+・・・・・+(2+(m-1))+(1+m)
=(1+m)+(1+m)+(1+m)+(1+m)+(1+m)+・・・・・(1+m)+(1+m)
　　　=m*(1+m)
となるので、2S=m*(1+m)からS=m*(1+m)/2となります。
従ってΣ（k=1,2m＋1)Ak=1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+・・・・・+m+m+(m+1)
　　　　　　　　　　　=2S+(m+1)=m*(1+m)+(m+1)=(m+1)^2
となります。すなわち Σ（k=1,2m＋1)Ak=(m+1)^2 です。

お礼

詳しく説明してくださり、ありがとうございます。
　(2)はA(2m＋1)を求めているような気がするのですが。

　どちらにしろ、助けてくださり、感謝しています。

回答No.3

yyssaa

ANo.2の<3/2>、<5/2>の値は間違いでは？

回答No.2

info22_

(1)
A1=1
A2=A1+1=1+1
A3=A2+<3/2>=1+1+1
A4=A3+<4/2>=1+1+1+2
A5=A4+<5/2>=1+1+1+2+2
A6=A5+<6/2>=1+1+1+2+2+3
...
A1001=1+1+1+2+2+3+3+ ... +500+500
=1+2(1+2+ ... +500)
=1+500*501
=250501

(2)
>自然数mに対して　Σ（2m＋1, k=1)

自然数mに対して　Σ（k=1,2m＋1)Ak

でいいなら
A1=1
A2=1+1
k≧3
k偶数のとき　Ak=1+(k/2-1)(k/2)+k/2
k奇数のとき　Ak=1+((k-1)/2)((k-1)/2+1)

Σ（k=1,2m＋1)Ak
=A1A2+ ... +A(2m+1)
=1
+1+1
+1+1+1
+1+1+1+2
+1+1+1+2+2
+1+1+1+2+2+3
+1+1+1+2+2+3+3
+ ...
+1+1+1+2+2+3+3+ ... +m
+1+1+1+2+2+3+3+ ... +m+m
=
1
+1+1^2
+1+1^2+1
+1+2^2
+1+2^2+2
+ ...
+1+m^2
+1+m^2 +m
=2m+1+2(1^2+2^2+ ... +m^2)+(1+2+ ... +m)
=2m+1+2*(1/6)m(m+1)(2m+1)+(1/2)m(m+1)
=(4m^3 +9m^2 +17m +6)/6

補足

訂正です。　
　>自然数mに対して　Σ（2m＋1, k=1)
　自然数mに対して　Σ（k=1,2m＋1)Ak　であってます。

回答No.1

yyssaa

A1=1
A2=A1+<2/2>=1+1=2
A3=A2+<3/2>=2+2=4
A4=A3+<4/2>=4+2=6
A5=A4+<5/2>=6+3=9
A6=A5+<6/2>=9+3=12
A7=A6+<7/2>=12+4=16
A8=A7+<8/2>=16+4=20
A9=A8+<9/2>=20+5=25
A10=A9+<10/2>=25+5=30
・
・
・
・
A1001=1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+・・・・500+500+501
=500*501+501=251001

自然数mに対してΣ（2m＋1, k=1)
1～2m+1までの和の意味なら
答えは2m^2+3m+1

補足

すいません。質問にミスがありました。
　(2)は、自然数mに対してΣ（k=1,2m＋1)Ak　です。

　よければ、(2)の説明を詳しくしていただけませんか。