arctanxの高階導関数

質問

arctanxの高階導関数
y=arctanxの高階導関数について
y^(n)=(n-1)!cosy^n*sin(n(y+π/2))
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ

n=1のときについては示せましたがkのときについてで詰まってしまいました
わかる方お願いします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

数学的帰納法を使う、ということですのでn=kについては証明する必要はありません。
n=kで成り立つ、と仮定します。
その仮定のもとでn=k+1で成り立つこと示せばよい。

つまり、
y^(k)=(k-1)!cosy^k*sin(k(y+π/2))
が成り立つと仮定する。
y^(k+1)=dy^(k)/dx=(d/dx)(k-1)!cosy^k*sin(k(y+π/2))
これを変形してk!cosy^(k+1)*sin((k+1)(y+π/2))
になることを示せばよいのです。