平方完成、部分分数分解はあってますでしょうか？

質問

次の３つの問いはどうといたらよいでしょうか？よろしくお願いします。
(1)x/1＋ｘ⁴を部分分数に展開せよ。
(2)ｘ²＋１∓√2を平方完成せよ。
(3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ
　＜自分の解答＞
(1)ｘ/(ｘ²＋i)(x²－i) として、A、B、C、Dとおき、それらを求め、i/２{ｘ/(ｘ²＋i)｝－i/２{ｘ/(ｘ²－i)｝としました。

(2)(ｘ∓√2/2)²＋1/2

(3)(1)(2)の自分の結果を使い、x/1＋ｘ⁴の積分に結びつけるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

(1)で、虚数を使っちゃ絶対ダメ、というのではありませんが、
微積関係の話なら、実数範囲で考えられれば、そうした方が、
一般論としても、扱いやすいですし、

この問題だと、うまく、(2)を使って(3)へ、に繋がりませんよね。

なので、(1)は、

x^4 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - ((√2)x)^2
= (x^2 + 1 + (√2)x)(x^2 + 1 - (√2)x)
という因数分解を使って((2)との関係が見えてきましたよね^^)

与式 = {1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)}

と、素因数分解をします。

(2) の平方完成はその通りで、

(3) では、(1)(2)を使って、２つ、
1/((何とか)^2+1/2) の形の関数の積分をすればいい。

大学生なら、1/(x^2+a^2) 形の不定積分の公式を
知ってて、覚えていれば、話は早いですが、

知らなかったり、まさかとは思いますが、高校生だったりすれば、
(何とか) = (1/√2)tanθという、よくあるパターンの
置換積分で、計算は結構面倒ですが、何とかなります。

回答No.2

info22_

(1)x/(1＋x^4)
=x/((x^2+1)^2-2x^2)
=x/((x^2+1-√2 x)(x^2+1+√2 x))
=(1/(2√2))(1/(x^2+1-√2 x) - 1/(x^2+1+√2 x))
=(√2/4)/(x^2+1-√2 x) - (√2/4)/(x^2+1+√2 x)

(2) x^2 +1∓√2x
=(x∓√2/2)^2 +(1/2)
なので合っています。

(3)(2)を利用して、x∓(√2/2)=t/√2で変数変換して
∫x/(1+x^4)dx=(√2/4){∫2/(t^2 +1)dt-∫2/(t'^2 +1)dt'
積分公式：∫du/(1+u^2)=tan^-1(u)+C を用いて
=(√2/2){tan^-1(t)-tan^-1(t')}+C
=(1/√2){tan^-1(√2x-1)-tan^-1(√2x+1)}+C