高階微分記号の意味

質問

解析学の知識は一般教養レベルです。
微分記号の形式として、f(x)をxについて微分する際、f(x)・d/dxと記述する形式があります。
これ自体に問題はないと思うのですが、高階導関数を意味する記号として、
f(x)のn階導関数について、f(x)・d^n/dx^nと記述する理由が分かりません。
他の質問などを見るに、解析学をまともに勉強すれば分かる、ということなのですが、
この記号自体は高校数学でも出てくるので、端的な説明、あるいは説明の書いてあるサイトのご紹介をお願いしたいです。
どなたか、宜しくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

その表記は、単なる約束事の面もあって、余り気にしなくてもいいのですが、

yを微分すると、dy/dx = (d/dx)y、

dy/dx を微分すると、d(dy/dx)/dx = (d^2)y/(dx)^2、
(d/dx)yを微分すると、(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y、

(d^2)y/(dx)^2を微分すると、d((d^2)y/(dx)^2)/dy = (d^3)y/(dx)^2、
(d^2/(dx)^2)yを微分すると、(d/dx)((d^2/(dx)^2)y) = (d^3/(dx)^3)y、

というふうに、「形式的」に計算した形から来ていて、

∫ (d^2)y/(dx)^2 dx = ∫ (d^2)y/dx = ∫ d(dy/dx) = dy/dx
のように、積分でも、「形式的」に使えるので、便利、
ということだ、と、思っておけばいいかと。

ちなみに、上のような流れなので、yをf(x)に置き換えた表現も、
質問者さんのように、f(x)を前に書くのは、ちょっと反則で、
後ろに書くことを、推奨。

また、こういう「形式的」な見方・考え方は、
どんな場合も通用するのではなく、
あくまでも、そうやっていいことが証明されている場合だけ、
ということにも注意です。

実際は、結構広い範囲で使えるのですが、
そういうことなので、じゃ、dy/dxは、文字通り、分数と見て
いいのか、という質問をすると、大抵ダメ！という回答が
すぐ返ってくる訳です。

お礼

他の方の回答とあわせて理解できました。ありがとうございます。

補足

>>(d/dx)yを微分すると、(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y、
ありがとうございます。
まだ不明な点があります。
(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y
なら納得行くのですが、
表示形式は
(d^2/dx^2)y
ではないでしょうか?
何故分母側のdが2乗されていないのか?　が不明で、質問した経緯があります。

回答No.4

hugen

lim(⊿^n)y/(⊿x)^n=f(n)(x)

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/Taylor%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

補足

テイラー展開、マクローリン展開のお話でしょうか？
読んでみます。

回答No.3

FT56F001

>(d/dx)((d/dx)y) = (d^2/(dx)^2)y
>なら納得行くのですが、
>表示形式は
>(d^2/dx^2)y
>ではないでしょうか?

分母はdx^2と書きますが，気持ちは(dx)^2であり，d(x^2)ではありません。
平方センチメータcm^2もc(m^2)(=0.01(m^2))の意味でなく，
(cm)^2=(0.01m)^2の意味という「約束」ですね。

お礼

なるほど。得心いきました。ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

この書き方を始めたのは Leibniz ということになっていますが, Leibniz 自身がどう書いたかについて確認したわけではありません... が, 分母に関しては慣習として「dx で 1つの記号」とみなしています.

なお, #1 にもありますが f(x)・d/dx は「f(x) を x で微分したもの」とは解釈しないことが多いはずです. むしろ「何かを x で微分し, その結果に関数 f(x) を掛ける」操作と読んでしまいそう.

お礼

納得できました。ありがとうございます。