微分の記号

質問

YをXで二回微分する記号って、d^2y/dx^2ですよね。
これを書き直したらd/dx{dy/dx}となるはずなので
d^2y/(dx)^2になると思うのですが、なぜd^2y/dx^2とかくのでしょうか？
くだらない質問なのでヒマな方教えてください

回答No.5

hugen

>d^2y/(dx)^2になると思うのですが、なぜd^2y/dx^2とかくのでしょうか？

かっこ () を省略しただけ。
　d^2y/(dx)^2＝d^2y/dx^2

回答No.4

siegmund

y について２次の微少変化(つまり，変化の変化) を (Δx)^2 で割ったものが２階微分ですから，
極限を取る前がそもそも Δ(Δy) / (Δx)^2 です．
で，Δを微少変化を取るという演算と思って Δ(Δy) = Δ^2 y と書いたのです．
もちろん，Δ^2 y≠(Δy)^2 です．

回答No.3

info22

＞d^2y/dx^2ですよね。
これは
一回微分→y'=dy/dx
2回微分→y"=d(y')/dx=d(dy/dx)/dx→d^2(y)/dx^2と書く約束にした。
3回微分→y"'=d(y")/dx=d(dy'/dx)/dx=d(d(dy/dx)/dx)/dx
→d^3(y)/dx^3と書く約束にした。
というわけですね。
f(x)→f'(x)→f"(x)→…→f^(n) (x)と書く約束にした。
y→y'→y"→…→y^(n)と書く約束にした。
y→dy/dx→d^2(y)/dx^2=(d/dx)^2 y→d^3(y)/dx^3=(d/dx)^3 y→…
「d/dx」を微分演算子とみる考え方もあります。
f(x)に微分演算子を3回演算するといった表現が
(d/dx)^3 f(x)
と言った書き方が使われます。
もちろん
d^3 f(x)/dx^3
と同じ内容になります。
微分記号は、数学や物理学の発達の中で数学者や物理学者などが米国、ヨーロッパ、旧ソ連圏などで互いに影響を受けながら、また別々に発達してきたために、同じ微分が異なる表記法で使われ現在に至っているわけですね。
現在なら、世界的な国際的学会があって記号が統一されるかと思いますは、通信手段や交通手段が整備されず、数学者や物理学者などの交流も簡単でなかったことから、同じ内容が別の記号で表されたり、同じ定理に別の名前が付くということもあったようですね。

回答No.2

sanori

＞＞＞
dyも一体と考えることになって結局d^2yという表記もおかしいと思ってしまいます。

はい。
その返答が来るような気はしていました。（笑）

d^2yと書く理由ですが、
もしも２回微分を dy^2/dx^2 と書いてしまうと、
dy/dx・dy/dx あるいは (dy/dx)^2 と同じように見えてしまいます。
それは、１回微分したものを単に２乗しただけのものに見えてしまいますよね？

かたや、
逆関数の微分は dx/dy
合成関数の微分は dy/dx = dy/dz・dz/dx
さらには、微分方程式を解くときには、
dy/dx = x → dy = dx/x → y = ∫dx/x = log|x| + C
これらは、dy や dx どうしで掛け算や割り算みたいなことが出来ることを示しています。
ですから、掛け算・割り算の概念と２回微分の表記とを両立するのが合理的です。

ですから、偉大なる先人は、ｙをｘで２回微分したものを、ｙが主人公ということで、上記のような掛け算・割り算とは区別して
d^2y/dx^2
と表記することにしたのだと思われます。

お礼

わざわざ二度もご説明ありがとうございました

回答No.1

sanori

なぜ括弧が付かないか、ということでしょうか？

dx は、d と x とに分離できるものではなく、一体で dx というシンボルですから、括弧が要らないです。

お礼

回答ありがとうございます。
括弧がいらないのであれば
d^2y/d^2x^2となるはずだと思うんです。
dxを一体で考えるのはわかるのですが、そうだとしたら
dyも一体と考えることになって結局d^2yという表記もおかしいと思ってしまいます。
ほんと今まで当たり前のように使ってきたんですが、今日ふと思ってなんでだろーって考えた程度なのでヒマならお願いしますｗ