積分記号の最後が微分形式になってる積分の計算の仕方は?

質問

積分計算の問題です。

(1) ∫[1～3]([x]+x)dα(x) (但し α(x)=x^2+e^x, [　]はガウスの記号)
(2) ∫[1～4](x-[x])dx^3
(3) ∫[0～1]sinπxd[4x]

という積分記号の最後がdxとかではなく微分形式(?)形になっている問題で戸惑っています。
このような積分はどのようにして計算するのでしょうか?

回答No.6

guuman

すいません。後,
(4)∫[0～3]x^2d[x]
(5)∫[0～3]e^xd[x]
もあるのですがこれに就いても
(4)∫[0～3]x^2d(x)
(5)∫[0～3]e^xd(x)
と解釈して差し支えないでしょうか?
ーーーー＞

私ならばそう思う
そのそもd[x]は紛らわしい
悪魔でもガウスとするならば
d([x])
とすべきである
素の場合は積分範囲が悪くδ関数で微妙となるので悪問である。

お礼

遅くなりましてすいません。有難うございます。

> 私ならばそう思う
> そのそもd[x]は紛らわしい
> 悪魔でもガウスとするならば
> d([x])
> とすべきである
> 素の場合は積分範囲が悪くδ関数で微妙となるので悪問である。

、、、という事は(4),(5)はただのリーマン積分なのですね。(4)はリーマン積分と解釈して計算すると∫[3～0]x^2dx=[x^3/3]^3_0=9となりますね。

所で(4)のみ正解&解説を入手しました(書庫室にて同本を見つけました)。
「(4)の正解は1^2+2^2+3^2.For x∈[0,3],[x]=I(x-1)+I(x-2)+I(x-3) now use formula ∫[a～b]fdα=Σ[n=1..N]c(n)∫[a～b]f(x)dI(x-s(n))=Σ[n=1..N]c(n)f(s(n))」
尚,(1),(2),(3),(5)は正解&解説は記載されておりませんでした。

IはI(x):=1(x≧0の時),0(x<0の時)というunit jump関数と思われます。
、、、やはり悪問でしょうか?
ごコメント賜れれば幸いでございます。

補足

遅くなりましてすいません。有難うございます。

> 私ならばそう思う
> そのそもd[x]は紛らわしい
> 悪魔でもガウスとするならば
> d([x])
> とすべきである
> 素の場合は積分範囲が悪くδ関数で微妙となるので悪問である。

、、、という事は(4),(5)はただのリーマン積分なのですね。(4)はリーマン積分と解釈して計算すると∫[3～0]x^2dx=[x^3/3]^3_0=9となりますね。

所で(4)のみ正解&解説を入手しました(書庫室にて同本を見つけました)。
「(4)の正解は1^2+2^2+3^2.For x∈[0,3],[x]=I(x-1)+I(x-2)+I(x-3) now use formula ∫[a～b]fdα=Σ[n=1..N]c(n)∫[a～b]f(x)dI(x-s(n))=Σ[n=1..N]c(n)f(s(n))」
尚,(1),(2),(3),(5)は正解&解説は記載されておりませんでした。

IはI(x):=1(x≧0の時),0(x<0の時)というunit jump関数と思われます。
、、、やはり悪問でしょうか?

回答No.5

guuman

どうしてかというと
そうだとすると
d([4・x])=(d([4・x])/dx)・dx
=(Σ[n:-∞→∞]・δ(x-0.25・n)))・dx
x=0とx=4
でクリティカルになり積分値が微妙になる

δ(x)はディラックのδ関数

補足

ご解説有難うございます。

∫[0～1]sinπxd[4x]=∫[0～1]sinπxd(4x)なのですね。
=∫[0～1]sinπx(4x)'dx=4∫[0～1]sinπxdx=4[cosπx/π]^0_1=-8/πとなるのですね。

すいません。後,
(4)∫[0～3]x^2d[x]
(5)∫[0～3]e^xd[x]
もあるのですがこれに就いても
(4)∫[0～3]x^2d(x)
(5)∫[0～3]e^xd(x)
と解釈して差し支えないでしょうか?

回答No.4

guuman

文脈から考えて
d[4x]
は
d(4・x)
の間違いだと思われる
それならば(1)、(2)と同じで出きるはず
そうでないならば積分範囲に瑕疵がある
その辺の事情を補足に書け

回答No.3

guuman

dα(x)=(dα(x)/dx)・dx
を代入してさらに具体化した式を補足に書け

補足

> dα(x)=(dα(x)/dx)・dx
> を代入してさらに具体化した式を補足に書け

これで(1)と(2)は∫○dxの形に出来ました。＼(＾o＾)／

(3)をお願い致します。(3)はどうするのでしょうか?

回答No.2

guuman

ガウスの記号を外した形で誠実綺麗に問題を書き直して補足に書け
当然∫[?～?]・?・dxの形の和で洗わせ

お礼

> ガウスの記号を外した形で誠実綺麗に問題を書き直して補足に書け
> 当然∫[?～?]・?・dxの形の和で洗わせ

ガウス記号を外してみるのですね。
ガウス記号を外すと
(1)は∫[1～2](1+x)dα(x)+∫[2～3](2+x)dα(x)
(2)は∫[1～2](x-1)dx^3+∫[2～3](x-2)dx^3+∫[3～4](x-3)dx^3
(3)は∫[0～1]sinπxd(4・0)=∫[0～1]sinπxd(0)

となりましたがすいません。ここから先は分かりません。

回答No.1

kabaokaba

合成関数の積分．
微分形式の積分の定義も参照．