積分方程式の解の存在条件

質問

次の積分方程式
∫K(x, y)f(y)dy=g(x)
の解が存在するための必要十分条件というのは知られているでしょうか？
積分範囲やKの条件はある程度制約があってもよいです。
例えば、K(x, y)=K(y, x)
あるいは半無限区間である等

背景としては、連立一次方程式Ax=yの解が存在するための必要十分条件は
detA=0であることですが、
それを連続空間に拡張できるかどうかということに興味があります。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

基本的な部分の間違いが多すぎます。「連立一次方程式Ax=yの解が存在するための必要十分条件は
detA=0」ではありません。detA≠0のとき逆行列が存在するので任意のyに対して

　x=A^(-1) y

が解。detA=0 でもｙによっては解が存在することもある。例えばｙがAの第１列と等しいとき、

　x = (1 0 0)'　（'は転置）
が解。
http://okwave.jp/qa/q6987368.html
積分方程式の解をできるだけ有限次元の場合と考えるにはフレドホルムの択一定理によるのが良いと思います。
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/functional-analysis-3/node8.html
http://qmpack.homelinux.com/~fujiwara/QMSP1/hoi.pdf

補足

ご回答いただき、ありがとうございます。
お久しぶりです。

以下のように訂正させていただきます。

ｘ背景としては、連立一次方程式Ax=yの解が存在するための必要十分条件は
detA=0であることですが、
◯背景としては、連立一次方程式Ax=yの解が存在するための十分条件は
detA≠0であることですが、

回答No.2

Ae610

余り参考にならないかも知れないが・・・、第一種の積分方程式は解くのが厄介で、積分方程式関連の書物にも解法が紹介されている物が少ないように思う。(個人的見解だが・・・)

第一種のＦ-方程式でＫ(x,y)が対称核である場合
g(x) = ∫[0,b]{Ｋ(x, y)f(y)}dy
が解を有するための必要十分条件については、確かPicardだかの文献にあったと思う・・・！？
(ただ文献の年代はかなり古い・・・！確か1909年に提出された物だったと思う)

g(x) = ∫[a,b]{Ｋ(x, y)f(y)}dy
が解を有するための必要条件と、この必要条件が満たされたときに、ある制約を設けたとき、
上の第一種F-方程式を満足する(一つの)解であることが示される事が、確か竹内端三先生の本「積分方程式」に紹介されていたと思う。
T.Lalescoの書物にも載っているかも・・・！？
（当方、仏語は全く分からないし、Lalescoの本は見た事無いので全くの憶測である）
興味があれば図書館などでご覧になられると良いと思う・・・！
(もしも知りたい事と違っていたならばご容赦・・！)
第一種のＶ-方程式についてはよく分かりません・・！

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

>第一種の積分方程式は解くのが厄介で、
>積分方程式関連の書物にも解法が紹介されている物が少ないように思う

確かに第二種はだいたい逐次的に解いていると思いますが、
第一種はあまり見た覚えがありません。

>確か竹内端三先生の本「積分方程式」に紹介されていたと思う。

十分有益な情報です。

>第一種のＶ-方程式についてはよく分かりません・・！

ヴォルテラ型は有限次行列との対応がつけにくいので、
とりあえず関心の対象外です。