関数で関数で微分する方法を教えてください

質問

ｆ（ｘ）＝ｘ２やlogx、x^－2等の種々のｘの関数はふつうｘで微分する問題が多いですが
ｘではなくｘ＾２や１/ｘ等、ｘの関数で微分する方法を教えてください
一般的にはどのような方法で計算するのか
また通常の微分に対して、数学的にどのような意味を持つのか…等など
分かる範囲で詳細に教えてもらいたいと思います。
具体例も織り交ぜて頂けるとありがたいです。
僕は微積IIまでやっていますがまだまだ理解が浅いと思われるので、あまりにも発展的な内容になるのでしたら簡単にでも構いません
どうかよろしくお願いします

回答No.1

sub_6 · ベストアンサー

数学IIIで習う合成関数の微分公式が実はそういうことをしています。

合成関数の微分公式は{ f(g(x)) } ' = f '(g(x)) ・g '(x) です。

これをライプニッツの微分記号で書くと、

dF/dx = dF/dg ・ dg/dx となります。ここで F とは合成関数 f ○ g です。

あなたの質問の答えとしては、dF/dg を求める操作というのは、関数(のようなもの)で
微分しているとみなせるのではないでしょうか。

たとえば、
h(x) = (1+x^2)^3 を微分します。ここで、t = 1 + x^2、h(t) = t^3 とおきます。

dh/dt = 3・t^2　、 dｔ/dx = 2・x^2 が得られます

h'(x) = dh/dx = dh/dt ・ dt/dx = 3・t^2 ・ 2・x^2
= 3・(1+x^2)^2 ・2・x^2
= 6・x^2 ・(1+x^2)^2

お礼

なるほど！合成関数の微分公式からそのように求めることができるのですね
大変納得しました
皆さんありがとうございます

回答No.4

noname#175206

xについて、二つの関数f(x)、g(x)があるとしますね（以降、(x)を省略します）。
　それぞれをxについての微分、、df/dxとdg/dxは計算できるとします。
　微分の他の記法でf'とかありますが、この記法d/dxという微分演算子で考えるのがやりやすいです。

　これを、f(x)をg(x)で微分するとします。
　実は、こういう1階微分（xで1回だけ微分）では、分数の要領で扱っていいのです。
　ですので、以下のような要領で、公式みたいなものが出ます。本当の分数記号は全角の／で書いてみます。

　df/dg
　　= df(dx/dx)/dg　←dx/dx＝1という無意味なものをわざ分子に掛けてみる
　　= (df/dx)(dx/dg)　←分数計算のように、dxひつを分母に移す
　　 =(df/dx)／(dg/dx)　←dx/dg＝1/(dg/dx)という分数計算と同じ

つまり、xの関数で微分するには、xの関数で微分したい関数と、微分するxの関数を、どちらもxで微分しておいて、

「xで微分した『xの関数で微分したい関数』」÷「xで微分した『微分するxの関数』」

にすれば、計算できます。

回答No.3

okormazd

f(x)=x^2
g(x)=x^2
f(x)をx^2=g(x)で微分する。
df(x)/dg(x)=(df(x)/dx)/(dg(x)/dx)=2x/2x=1

f(x)=logx
g(x)=1/x
f(x)を1/x=g(x)で微分する。
df(x)/dg(x)=(df(x)/dx)/(dg(x)/dx)=(1/x)/(-1/x^2)=-x

あるいは、
1/x=t
とおくと、
dlog(1/t)/dt=1/(1/t)・(1/t)'=t・(-1/t^2)=-1/t=-x
とか。

のようだと。

回答No.2

hugen

例えば、
x＝２t＋１
y＝３t－２　　は、等速直線運動で
dy/dt=3
dx/dt=2
dy/dx=lim⊿y/⊿x=lim(⊿y/⊿t)(⊿x/⊿t)
=(dy/dt)(dx/dt)=3/2