微分、等式を満たす二次関数

質問

数IIの微分の問題です。

等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす
二次関数f(x)を求めよ。

この問題をどう解いていいかわかりません。
教えてください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

二次関数ｆ（ｘ）は、定数ａ、ｂ、ｃ　を用いて
ｆ（ｘ）　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
と表せます。
そして、
ｆ’（ｘ）　＝　２ａｘ　＋　ｂ
ですね。

肝心なのは、ここからです。
「等式x^2f´(x)-(2x-1)f(x)=1を満たす」というのは、常にそうなるという意味です。
つまり、
ｘ^2・（２ａｘ＋ｂ）　－　（２ｘ－１）（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　－　１　＝　０
が常に成り立つような　ａ、ｂ、ｃ　を求めればよいことになります。
　　　別の言い方では、
　　　ｘ^2・（２ａｘ＋ｂ）　－　（２ｘ－１）（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　－　１　＝　０
　　　が恒等式になるような　ａ、ｂ、ｃ　を求めればよいということです。

展開すると、
２ａｘ^3　＋　ｂｘ^2　－　２ｘ（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　＋　（ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ）　－　１　＝　０
２ａｘ^3　＋　ｂｘ^2　－　２ａｘ^3　－　２ｂｘ^2　－　２ｃｘ　＋　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ　－　１　＝　０
（ａ－ｂ）ｘ^2　＋　（ｂ－２ｃ）ｘ　＋　（ｃ－１）　＝　０
右辺がゼロなので、恒等式になるためには、
ａ－ｂ　＝　０
ｂ－２ｃ　＝　０
ｃ－１　＝　０
ということになります。

ここまで来れば大丈夫ですよね？

なお、私は計算ミスが多いので、最初から点検してください。

回答No.1

noname#157574

求める2次関数をf(x)=ax²+bx+cとおくと，
f'(x)=2ax+bであるから，
あとは自分で解きましょう。