高校受験の問題です(その３)

質問

この問題の解き方を教えてください。宜しくお願いします。

正六角形ABCDEFと正六角形GHIJKLを底面にもち、側面がすべて長方形である、高さ４の正六角柱ABCDEF-GHIJKLがある。
この立体を、６つの平面AHC,HCJ,CJE,JEL,ELA,LAHで切って、６つの三角すいを取り除く。
このとき、残りの立体のすべての面は正三角形である。

（１）ＡＢの長さを求めなさい。

（２）残りの立体ACELHJの体積を求めなさい。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

正六角形ABCDEFと正六角形GHIJKLを底面にもち、側面がすべて長方形である、高さ４の正六角柱ABCDEF-GHIJKLがある。
この立体を、６つの平面AHC,HCJ,CJE,JEL,ELA,LAHで切って、６つの三角すいを取り除く。
このとき、残りの立体のすべての面は正三角形である。

>（１）ＡＢの長さを求めなさい。
問題の図は描けているものとして説明していきます。
正六角形は、１つの内角は１２０度です。
ＡＢ＝ｘとおきます。
△ＢＣＡについて考えます。（取り除く三角錐の底面の１つ）
ＢＡ＝ＢＣ＝ｘの二等辺三角形です。角ＡＢＣ＝１２０度なので、Ｂから垂線をおろし交点Ｍとすると、
６０度３０度９０度の直角三角形２つ分なので、
ＢＭ＝(1/2)ｘ、ＡＣ＝２×(ルート３／２）ｘ＝ルート３ｘ
ＢＭは△ＢＣＡの高さ、ＡＣは△ＢＣＡの底辺であり、
残りの立体の面（正三角形）の１辺でもあります。

後で必要なので面積など求めておきます。
△ＢＣＡの面積＝（１／２）×（ルート３ｘ）×(1/2)ｘ
　　　　　　　＝（ルート３／４）ｘ^2
正六角形ABCDEFの面積は、△ＢＣＡのような三角形３つと正三角形ＡＣＥをたしたもの。
正三角形ＡＣＥは、１辺がルート３ｘだから、２：ルート３＝ルート３ｘ：高さより、
高さ＝(3/2)ｘ
正三角形ＡＣＥの面積＝（１／２）×（ルート３ｘ）×(3/2)ｘ
　　　　　　　　　　＝（３ルート３／４）ｘ^2
正六角形ABCDEFの面積＝３×（ルート３／４）ｘ^2＋（３ルート３／４）ｘ^2
　　　　　　　　　　＝（３ルート３／２）ｘ^2
ＡＢの長さを求めます。
長方形ＡＧＨＢを考えると、△ＡＨＣが残りの立体の正三角形の面だから
ＡＨ＝ルート３ｘでなければならない。三平方の定理より
ＡＨ^2＝ＡＢ^2＋ＢＨ^2より、（ルート３ｘ）^2＝ｘ^2＋４^2
ｘ^2＝８　より、ｘ＝２ルート２
よって、ＡＢ＝２ルート２

>（２）残りの立体ACELHJの体積を求めなさい。
正六角形の面積＝（３ルート３／２）ｘ^2
　　　　　　　＝（３ルート３／２）×８
　　　　　　　＝１２ルート３ｃｍ2
△ＢＣＡの面積（取り除く三角錐の底面積）
　　　　　　　＝（ルート３／４）ｘ^2
　　　　　　　＝（ルート３／４）×８
　　　　　　　＝２ルート３ｃｍ2
残りの立体ACELHJの体積
＝正六角柱の体積－６×三角錐の体積
＝１２ルート３×４－６×（１／３）×２ルート３×４
＝４８ルート３－１６ルート３
＝３２ルート３ｃｍ3

のようになりました。何かあったらお願いします。

お礼

丁寧な解説を本当にありがとうございました。入試まで数日なので頑張りたいと思います。また分からない問題があったら教えてください。お礼が遅くなってしまいすみませんでした。どうもありがとうございました！！

回答No.1

B-juggler

とりあえず、絵を描いてみようか。

まずはそこからです。

正三角形の一辺はいくつになりそうかなぁ～～？？

ＡＢはその一辺じゃないかな？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

こんなところで、サボっていてはダメだよ。
ちゃんと自分でとく努力はしないと。ね。

お礼

ヒントをありがとうございました。入試まであと数日なのでお礼が遅くなりすみませんでした。