立方体からの切り取り問題

質問

一辺10cmの立方体の1つの辺から、直角をはさむ２辺の長さが２cmの直角二等辺三角形を底面とする高さ10cmの三角柱を切り取る。
この作業を残りの１１辺からも行う。残った立体の体積は何cm3？

という問題を質問されたのですが、分からなくて困っています汗
誰か教えて下さいm（＿ ＿）m

回答No.8

Tacosan

手元計算ですが, #5 の筋で 808 cm^3 は出ます.

とがっている角のところをむすぶと立方体ができるので, この立方体とその外にある「変な形の立体」を別々に計算して最後に合計します.

「立方体」の部分は 1辺の長さが 8 cm. 「変な形の立体」は実は
底面の 1辺が 8 cm, 上面の 1辺が 6 cm, 高さ 1 cm の正四角錐台
で, 上部をちょん切る前の正四角錐に戻すとその高さは 4 cm.

これらの情報を突っ込んでごりごり計算すると 808 cm^3.

回答No.7

tiltilmitil

もう一つおまけで。質問者さんが計算したときに想定した図形はこちらの方で、答えがおよそ802.7になりませんでしたか？　角の部分をついつい綺麗に切ってしまいがちかと。

回答No.6

tiltilmitil

更に追記。ソフトの機能で体積出したら808.0000417になりました。たぶん割り切れてないですね。

お礼

おっと、まさかそんな手法で。。
確かに808付近になってますが…
図形に分解したらそんな数字が出るのか想像がつかないです(笑)
ありがとうございます。

回答No.5

tiltilmitil

3次元ソフトで形状出してみました。角の部分がややこしいし出しにくい。元の立方体から引くよりもこの形状をいくつかに分割して足した方が楽かも。

回答No.4

yama3-t

カテゴリが中学校受験になっておりますので
小学生であつかう範囲（はんい）のみで回答させていただきます。

ただし、ヒントと道筋だけ教えますので答えは自分で出してください。

まず、切り取る前の立方体の体積は
(a)　10×10×10　です。　　(NO.1の方へ→面積になってますよ？)

切り取る三角柱の体積は1本当たり
(b)　2×2×(1/2)×10　です。

さて、この三角柱を残りの11辺でも作るので、(NO.1の方へ→２本になってますよ？)
合計12本作ることになります。

なので上の(b)の体積を12倍したものを、(a)の体積から引きたくなるのですが…

実は、三角柱を作っているときに、重なって切ってしまっているところがあります。
それは立方体の角の部分です。

それぞれの角から3つの辺がありますので、各辺で三角柱を作ると必ず3回この角が
重なってしまうのです。

ではその重なってしまう角の体積は…
底面は直角を挟む2辺が2cm2cmの直角三角形
高さ2cmの三角錐(すい)です。
(c) 2×2×2×(1/3)

これが8つの角にそれぞれあり、三角柱を12回切ってしまうと
各角で2回ずつ余計に引かれてしまうので
(一つの角から3辺分引くので1つは本物、2つは重なっていると考えます。)

(a) - (b)×12 + (c)×8×2　となるはずです。

さて、この問題では時々先生が単純に12回3角柱を引いておしまい！！とする場合がありますが、それは先生の間違いなので、角をどう対処するかがこの問題のカギです。

ただし、三角錐(すい)の体積は小学校の範囲ではない可能性があるので、
もし、出題者がそれに気づかず出した場合は悪問で、角をどうするか突っ込んであげましょう！

補足

ご回答ありがとうございます。
私もyama3-tさんと同様の方法で解いたのですが
答えが808ｃｍ3らしく、、これでは解答と合わないんですよね汗汗

p.s.
三角錐は小学校の範囲だそうです。

回答No.3

tiltilmitil

ポイントは八つの角の重複部分でしょう。切り取るべき三角柱が三つ重なった部分を考慮しなくては。

回答No.2

nezusuke

すいません、No.1です。
立方体の体積＝１０×１０×１０ですね。１つ抜けていました。

回答No.1

nezusuke

直角をはさむ三角形の辺がそれぞれ２cmということでよいでしょうか？

角柱の体積を求める式＝底面積×高さ　　　　です。
元の立方体から　切り取った２つの三角柱の体積を引けばいいのですから

元の立方体の体積＝１０×１０
三角柱の体積＝２×２×1／２×１０
これが２つなので　　　×２
求める体積＝１０×１０－２×２×1／２×１０×２　　　　　です。