検算の仕方が分りません。

質問

In(cos^5)dxを積分して
1/5(sin^5)x-2/3(sin^3)x+sinx+Cとなり
微分して検算しようと思ったのですが
t=sinxとして
(1-t^2)^2から先が分りません。
どなたか教えていただけませんか？

回答No.1

newmew-0 · ベストアンサー

(1-t^2)^2のtにsinxを代入すれば

(1-sin^2(x))^2
=(cos^2(x))^2
=cos^4(x)

となります。
ですがこれは５乗ではなく４乗ですね。何が問題なのかというと、もとの式はsinなのにtで単純に微分してしまったことです。
これを正しく補正するためには

d/dx(1/5(sin^5)x-2/3(sin^3)x+sinx+C)
=(dt/dx)d/dt(1/5t^5-2/3t^3+t+C)

と変換しましょう。（要は合成関数の微分です）
すると
dt/dx=cosx
が出てくるので５乗になります。

お礼

ありがとうございます。
やっとわかりました。