2つの命題の意味の違いについて

質問

Journal of Optimization Theory(1985)の'An Extension Lemma and Homogeneous Programming'に掲載されている以下の定理について、(i)と(ii)との意味の違いがいまいちよくわかりません。直感的には、言葉の順序の違いからくる違いだとは認識できますが、はっきりとせず困っているのが現状です。ご助言を頂ければ幸いです。

Suppose that C is a convex set and K is a convex, compact set in E. Then, the following assertions are equivalent.
(i) For each x ∈ C, there exists an y ∈ K such that (x,y) ≧ 0.
(ii) There exists an y' ∈ K such that (x,y') ≧ 0 holds for each x ∈ C.

回答No.3

f272 · ベストアンサー

違いを際立たせて言えば，
(i)
Cに属するxをひとつ決めたら，それに応じて(x,y)≧0となるようなyを決めることができる。
ｙはxに依存してもよい。
(ii)
Cに属するどのxについても(x,y')≧0，となるようなy'がある。
ｙ'はxに依存しない。

お礼

簡潔に、分かり易く、記載していただき、有り難うございました。
とても分かり易く感じました。

回答No.2

noname#175206

>(i) For each x ∈ C, there exists an y ∈ K such that (x,y) ≧ 0.

「Cに属する任意のxについて、Kに属するあるyが、必ず(x,y) ≧ 0とすることができる。」

>(ii) There exists an y' ∈ K such that (x,y') ≧ 0 holds for each x ∈ C.

「Kに属するあるy'が、必ず(x,y') ≧ 0となるように、Cに属する任意のxについて成り立つ。」
→「Kに属するあるy'が、Cに属する任意のxについて、必ず(x,y) ≧ 0とすることができる。」

ですか。a y（a y'）は、「Kから(x,y) ≧ 0になるように選べ、必ずそういうy(y')が1個あるから」ということですね。どちらも、

「Cの要素xをどう選ぼうが、Kの中には『(x,y) ≧ 0』にできる要素yが必ずある。」

と言っているようです。

お礼

とても丁寧に解説していただき有り難うございました。
非常に参考になりました。

回答No.1

WiredLogic

英文法の話としては、副詞句「for each x ∈ C」が、
(i)では、文頭に来ているので、文修飾、文の残り全体にかかっているのに対し、
(ii)では、動詞holdsの後に来ているので、普通にholdsにかかっている、
という違いの問題で、

(i)は、x∈Cであるような、Cを１つ持ってきたら、
　(x,y)≧0 であるようなy∈Kが、必ず１つはある、ということを、
(ii)は、どんなx∈Cを持ってきても、(x,y')≧0を成り立たせるような
　y'が必ず１つはある、ということを意味しています。

お礼

「for each x ∈ C」のかかる場所に注意するという事項を失念しておりました。
それを考慮して、意味内容を把握することができました。
有り難うございました。